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4.1 Die Peano-Axiome
Die vorgestellte Beweismethode Vollständige Induktion ist nur zulässig für den Zahlenbereich , also für alle positiven ganzen Zahlen einschließlich der Null. Auf andere Zahlenmengen ist die vollständige Induktion nicht anwendbar.
Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen legte der italienische Mathematiker Guiseppe Peano in den nach ihm benannten Peano-Axiomensystem fest:
P1: Null ist eine natürliche Zahl.
P2 ...
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3. Klasse
Der gesetzliche Lehrplan beinhaltet für die 3. Klasse:
3.1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen
. rationale Zahlen in verschiedenen Formen deuten können,
. als Zustände gegenüber einem Nullpunkt,
. als Punkte auf einer Zahlengeraden,
. Erkennen und Beschreiben von Kleiner-Größer-Beziehungen;
. rationale Zahlen für Darstellungen in Koordinatensystemen verwenden können;
. die Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen wissen und bei ...
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ABSTAND EBENE - EBENE
E: Ax + By + Cz D = 0 F: Ax + By + Cz E = 0
Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt
Länge des Normalenvektors bestimmen [ A^2 +B^2 + C^3 ]
E D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors
Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen
ABSTAND PUNKT - EBENE
(Möglichkeit 1)
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Vorwort
Vor unserer Zeitrechnung
Beginn vor 2000 Jahren
Im römischen Reich
Zahlen und Ziffernzeichen
Bis zum Mittelalter
12. Jahrhundert
Entstehung der mechanischen Rechenmaschinen
Blaise Pascal
G.W. Leibnitz
Spezialfall: Addiergeräte
Industrielle Herstellung mechanischer Rechenmaschinen
1833
Brunsviga
Elektronische Tischrechner
Rechenautomaten und maschinelle Datenverarbeitung
1946
Abriß über die Entwicklung der Computertechni ...
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Ein Axiomensystem ist die Grundlage aller mathematischer Systeme. Um ein solches System zu schaffen muß man alle Grundtatsachen und Definitionen finden, aus denen sich alle anderen Sätze des betreffenden Fachgebiets bzw. der betreffenden Wissenschaft sammeln. Ist dies gelungen, so nennt man das Axiomensystem definit.
Damit ein solches System überzeugen kann müssen alle Bezeichnungen, die man verwendet definiert sein und es muß alles bewiesen we ...
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Ein Grundbegriff der Axiomatik ist die Isomorphie. Gegeben seien zwei Axiomensysteme 1 und 2. In 1 herrschen nun die Relationen R1, R2, usw. Die Beziehungen zwischen den Objekten in 2 werden nun, obwohl sie sich im Sinn unterscheiden, mit den selben Namen versehen, wodurch sie einander zugeordnet werden. Findet sich zu jedem Begriff des einen Systems ein Gegenstück im anderen, so sind die beiden Systeme isomorph ...
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Welche Kriterien muß ein System nun aber erfüllen, damit es anerkannt werden kann? Der wichtigste Anspruch an ein System ist die Forderung nach der Widerspruchsfreiheit. Wenn ein Mathematiker eine neues System Σ ausarbeitet, muß er sicherstellen, daß es dieses geben kann. Aus seinem System Σ darf er niemals die Aussagen α und ά herleiten können. Ansonsten ist das System völlig wertlos. Deshalb ist die Überprüfung eines jede ...
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Wie bereits erwähnt hatten die "Elemente" des Euklid für die Geometrie und die Mathematik überhaupt für lange Zeit einen ähnlichen Stellenwert, wie die Bibel für das Christentum. Euklid stellte die Geometrie auf eine Basis von Axiomen, die über 2000 Jahre lang Gültigkeit besaßen. Selbst Kant war der Meinung, daß sie die Wahrheit über die Realität liefern kann. Euklid, der zur Zeit Ptolemäus I. (305-287 v. Chr.) in Alexandria lebte, baute die G ...
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Nikolai Iwanowitsch Lobatschewskij (1777-1856) untersuchte den Fall, daß die Winkel im Saccheri-Viereck spitz sind. Das ist möglich, wenn erlaubt wird, daß es zu einer Geraden L durch einen Punkt P mehrere nicht-schneidende Geraden gibt.
Saccheri zeigte bereits, daß alle Geraden, die einen Winkel größer als mit einer Normalen durch L einschließen, L nicht schneiden. Anders als Saccheri sah Lobatschewskij hier keinen Widerspruch und ...
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Obwohl Saccheri glaubte beweisen zu können, daß die Winkel im Saccheri-Viereck nicht stumpf sein können, gelang es Riemann eine Geometrie zu schaffen, in der auch dieser Fall eintritt.
Um die Arbeit Riemanns zu verstehen, ist es notwendig, ein wenig auf die allgemeine Flächentheorie von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) einzugehen. Er entwickelte eine Methode mit der man Berechnungen auf gekrümmten Flächen anstellen konnte.
Ein Punkt auf di ...
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Der Nachweis, daß die nichteuklidischen Geometrien widerspruchsfrei sein müssen, wurde von einem Mathematiker namens Klein erbracht. Es gelang ihm ein euklidisches Modell für die nichteuklidische Geometrie zu schaffen. Er schuf eine Kugel K im euklidischen Raum. "Punkte" sind alle Punkte innerhalb von K. Begriffe wie "Gerade" oder "zwischen" sind wie vor im euklidischen Sinne zu verstehen. "Bewegung" ist jene Kollineation, welche die Kug ...
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Zu Beginn unseres Jahrhunderts gab es eine kurze Periode, in der die Grundlagen der Mathematik offen diskutiert wurden. Rund 40 Jahre lang tauschen die führenden Mathematiker ihre Gedanken untereinander aus, und stritten sich über Details.
Diskussionen darüber gab es dennoch schon lange vorher. Sie hängen meist mit dem sogenannten Euklid-Mythos zusammen. Das ist der Glaube, daß die Schriften des Euklid Wahrheiten enthalten, die unwiderlegba ...
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Für die Formalisten, allen voran David Hilbert, ist die Mathematik eine Art Spiel mit Symbolen und Formeln. Es gibt nur formale Strukturen, die sich nach gewissen Regeln ineinander überführen lassen. Anschauung und Erfahrung sind für Formalisten ohne jegliche Bedeutung. Ein Satz ist nur dann wahr, wenn er sich aus einem widerspruchsfreien Axiomensystem herleiten läßt. Die Axiome selbst können willkürlich gewählt werden. Entgegen anderer Auffa ...
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Die Platonisten haben ein anderes Bild von der Mathematik. Die Platonisten geht davon aus, daß die mathematischen Objekte tatsächlich in ihrem eigenen "Universum" existieren, ganz egal, ob sie uns bereits bekannt sind, oder nicht. Sie waren schon immer da, und können nur noch von uns entdeckt werden. Jede Frage über ein Objekt aus diesem Reich ist eindeutig zu beantworten, auch wenn der Lösungsweg noch unbekannt sein mag. Das ist ein grundle ...
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Für die Konstruktivisten, allen voran L.E.J. Brouwer hat die Mathematik nicht nur einen formalen, sondern auch einen inhaltlichen Sinn. Die mathematische Gegenstände werden vom denkenden Geist begriffen. Die Mathematik ist daher unabhängig von der Erfahrung.
Für sie existiert nur, wofür ausgehend von intuitiv gewissen Grundlagen ein eindeutiger Weg angegeben werden kann, auf dem die fraglichen mathematischen Gebilde konstruiert werden können ...
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Ebenfalls durch die Probleme, die zu Anfang des Jahrhunderts bestanden, angeregt, versuchten die Logizisten die Mathematik auf die Logik zurückzuführen. Die wichtigsten Vertreter dieser Richtung sind G. Frege (1848-1925), N. Whitehead (1861-1947) und B. Russell (1872-1970).
Zu Beginn zeigte sich, daß die Logik selbst einer neuen Darstellung bedurfte. Frege entwickelte eine Begriffsschrift, die von Whitehead und Russell zum mathematischen Logik ...
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- Differential und Integralrechnung sind in engster Verbindung entstanden in letzten Drittel des 17 Jahrhunderts.
- Im Buch unter dem Kapitel : "Die Mathematik in der Zeit des Rationalismus"
- Rationalismus Geisteshaltung die das rationale Denken als einzige Erkenntnisquelle ansieht
Der Anfang:
- der Übergang des Mittelalters zur Neuzeit ist durch eine radikale Neuorientierung des abendländischen Denkens gekennzeichnet
- an di ...
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Durch den Kauf von Gütern des Anlagevermögens legt sich ein Unternehmen für längere Zeit fest. Solche Investitionen müssen besonders genau kontrolliert werden. Dafür gibt es verschiedene Rechenverfahren.
Verfahren der Investitionsrechnung
Was wird verglichen? Wie wird verglichen?
- Kosten - ohne Zinsen
- Gewinn - mit einfachen Zinsen
- Rentabilität ...
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Leonardo wurde 1170 in Pisa geboren. Wenig ist über Leonardo\'s Leben bekannt.
Die Schaffung eines auf dem Positionssystem beruhenden dezimalen Stellenwertsystems ist eine der bedeutendsten kulturellen Leistungen der indischen Völker. Das indische System ist in Bagdad im 8.Jahrhundert bekannt. Die Araber greifen dieses indische System auf und dadurch, dass der größte Teil Spaniens von den Arabern beherrscht wird, gelangen die indischen Idee ...
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Die Vektoren a1,a2,...,an heißen linear abhängig, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen läßt.
Die Vektoren a1,a2,...,an heißen linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen läßt.
Linearkombination von Vektoren:
Sind a1,a2,...,an Vektoren und 1,2,...,n und i R so heißt ein Vektor der For ...
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