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Lösung des Gleichungssystems
Eine geordnetes Zahlenpaar (x1; x2), das beide Gleichungen des Systems erfüllt, heißt Lösung des Gleichungssystems.. Die Auflösung kann rechnerisch oder zeichnerisch erfolgen. Die Probe besteht im Einsetzen des Wertepaares ( x1 ; x2) in das Gleichungssystem.
Rechnerische Auflösung / Methode der Elimination
Das Prinzip dieser Methode besteht in der Zurückführung eines neue ...
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Die lineare Optimierung ist ein Teilgebiet der Optimierungsrechnung. Diese Rechnung ist ein Hilfsmittel zur optimalen Entscheidungsfindung bei komplizierten Problemen.
Unter einschränkenden Bedingungen wird mit Hilfe der linearen Optimierung das Minimum beziehungsweise das Maximum einer linearen Funktion ermittelt. Die zu maximierende Funktion ist dabei meistens die Gleichung für den Gewinn, die zu minimierende Funktion die Gleichung für die K ...
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Die lineare Optimierung gehört zu den jüngeren Anwendungsgebieten der Mathematik. Vor einem halben Jahrhundert begann der richtige Durchbruch der linearen Optimierung mit der Simplexmethode, die von G.B. Dantzig entwickelt wurde. Die ersten Arbeiten der Linearen Optimierung wurden im Jahre 1939 von dem russischen Mathematiker Leonid W. Kantorowicz in diesem Gebiet veröffentlicht.
Besonders in den USA wurden am Ende des zweiten Weltkrieges neue ...
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Die griechische Mathematik dauerte ca. 1500 Jahre. Die Griechen sind um 2000 v. Chr. aus dem Norden in den Mittelmeerraum eingewandert und deren Kultur war die Grundlage für die abenländische Politik, Kunst und Wissenschaft. Die Griechen hatten zwar ein Dezimalsystem, aber eine zu komplizierte Ziffernschreibweise. Das Ziffernsystem bestand aus 24 Buchstaben, wobei Digamma, Kappa und San hinzugekommen sind. Es gab 3 Zahlenkategorien und wollte m ...
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Die einfachste (aber auch naive) Definition ist: "Die Mathematik ist die Wissenschaft von Quantität und Raum", also die Mathematik handle in ihrem geometrischen Teil von den geometrischen Figuren und im übrigen von den Eigenschaften der Zahlen. Diese "klassische" Definition steht neben einer Unzahl von anderen, von denen uns noch einige in späteren Abschnitten begegnen. Unsere Verlegenheit vor dieser Frage steckt schlichtweg in der Vielzahl unt ...
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Die mathematische Denk- und somit Vorgehensweise könnte man vielleicht so umschreiben: Man formuliert ein Problem, man versucht im Problem dargelegte Daten mit Bekanntem(oder als bekannt Vorausgesetztem) zu verknüpfen und diese bekannten Fakten in Aussagen für solche Schritte verwertbar zu machen, die einer Lösung des Problems näherkommen. Man denke nur an den Beweis durch vollständige Induktion - "die mathematische Schlussweise in ihrer reinst ...
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Der axiomatische "Aufbau" ist eine Entdeckung der griechischen Antike. Das für fast zwei Jahrtausende hindurch gültige Paradigma dazu, die Elemente des Euklid (ca.300 v.Chr.), sind bereits der Höhepunkt einer langen Kette von Versuchen zur heute nach dem Autor so benannten "Euklidischen Geometrie". Das auf Beweis beruhende Wissen (apodiktisch) muss nach Aristoteles "aus solchem entspringen, das wahr, ein erstes und Unvermitteltes , bekannter un ...
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Der Grund der Anwendbarkeit der Mathematik auf reale Verhältnisse stelle ein äußerst tief liegendes Problem dar, dessen Schwierigkeiten auf allgemein erkenntnistheoretischem Boden liegen.
Felix Klein (1849-1925)
Die Mathematik wirkt "attraktiv", weil sie als Modellfall scheint. Am Beispiel der Mathematik hofften die Philosophen tieferen Einblick in die Struktur, die Mittel und Voraussetzungen von Erkenntnis überhaupt zu gewinnen ( ...
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Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit
Die verschiedenen philosophischen Richtungen geben hier verschiedene Antworten. Für die Vertreter "empiristischer" oder "materialistischer" Standpunkte gibt es keinerlei Grund zur Verwunderung: Wir haben die Mathematik ja aus der Wirklichkeit, folglich "gehorcht" sie dieser a ...
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Die Wurzeln der Philosophie der Mathematik, wie der Mathematik selbst liegen im alten Griechenland. Für die Griechen bedeutete Mathematik Geometrie, die Philosophie der Mathematik somit Philosophie der Geometrie. Für Plato war der Anspruch der Philosophie ein Wissen um ewige und notwendige Wahrheiten zu etablieren. Für Plato war das Konzept der Geometrie ein Schlüsselelement seiner Vorstellung der Welt, er spricht von Geometern und Rechenkünstl ...
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Für die Rationalisten spielte die Geometrie eine ähnliche rolle wie für Plato, da sie die Vernunft als Hilfsmittel ansahen a priori sicheres Wissen zu erlangen. "Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180º" (dieser Satz war Spinozas Lieblingsbeispiel einer zweifellos wahren Aussage). Mathematik, die Erkenntnis des Guten bei Plato, wurde bei den Rationalisten zur Erkenntnis Gottes. "Die Himmel verkünden die Ehre Gottes, und das Firmament zeigt s ...
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Als der Empirismus auftauchte konnte er sich ob der naturwissenschaftlichen Erfolge auf der Grundlage experimenteller Methoden durchsetzen. Der Glaube an das materielle Universum als fundamentale Realität wurde zur üblichen Betrachtungsweise. Die Empiristen meinten alles Wissen entspringe der Beobachtung; nur durch die Mathematik gerieten sie in Verlegenheit. John Stuart Mill stellte jedoch eine empirische Theorie mathematischen Wissens auf, na ...
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In den philosophischen Kontroversen blieb die Geometrie unangetastet. Es hält sich immer noch (sogar noch bis ins 19. Jhdt. - durch z.B.: Carl Friedrich Gauss ) die Definition der Mathematik die Plato und Aristoteles geprägt haben (vgl. das alte Griechenland). Alle Standpunkte gingen davon aus, dass das geometrische Wissen - speziell die Errungenschaften Euklids - kein Problem darstellt, selbst wenn alles andere Wissen problematisch sein sollte ...
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In diesem Jahrhundert kam es zu mehreren "Katastrophen". Eine war die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien. Weiters die rasante Entwicklung der Analysis, die die geometrische Intuition überrundete, wie die Entdeckung von raumfüllenden Kurven, oder von stetigen nicht differenzierbaren Kurven. Diese harten Schläge für die geometrische Intuition, der einzigen soliden Grundlage der Mathematik, dieser Verlust von Gewissheit in der Geometrie ...
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Dedekind äußerte sich 1880 über seine Motive und Grundideen. Zum ersten wollte er Grundeigenschaften der als anschaulich gegeben angesehenen natürlichen Zahlenreihe aufsuchen, also solche die sich nicht aus den übrigen ableiten lassen, aus denen aber alle anderen Eigenschaften der Grundzahlenreihe folgen. Zweitens wollte er deren Zusammenhänge noch deutlicher hervorheben lassen, also den strukturellen Aspekt sichtbar machen. Peano verfeinerte D ...
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Die heute wohl berühmteste Antinomie, ist die eben angesprochene Russellsche:
Die Menge aller Mengen ist offenbar ein Ding, dass sich selbst als Element enthält, wir bezeichnen solche Mengen als "R-Mengen". Weiters wollen wir all jene Mengen die sich nicht selbst als Element enthalten als "M-Mengen" bezeichnen. Ist M eine R-Menge? Nein. Ist M keine R-Menge? Wiederum nein. Die Definition von M widerspricht sich also selber.
Wie kann man auf so ...
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Die Antinomien schlugen wie ein Gewitter in die eben erst beruhigte mathematische Atmosphäre der Jahrhundertwende hinein und ihre Wirkung war vielfach geradezu niederschmetternd
A. Fraenkel (1928, 210)
Die dargestellten Antinomien zeigten, dass die intuitive Logik in Tat und Wahrheit keineswegs sicherer war als die klassische Mathematik, im Gegenteil, sie konnte Widersprüche erzeugen, wie sie in der Geometrie oder Arithmetik nie vo ...
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Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbeigehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so außerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, dass deren genaues Studium für jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Höhe der Zeit stehen, ganz unerlässlich ist. Durch jen ...
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Eine weitere charakteristische Eigenschaft mathematischen Denkens ist: Die Entwicklung und Untersuchung von Methoden, die unendliche Bereiche einem endlichen Intellekt so zugänglich zu machen, dass präzise und begründbare Aussagen über sie möglich werden. Oder auf den Charakter der Mathematik überhaupt ausgeweitet: "Will man ein kurzes Schlagwort, welches den lebendigen Mittelpunkt der Mathematik trifft, so darf man wohl sagen: sie ist die Wiss ...
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Die dritte Schule, die der konstruktiven oder intuitionistischen Mathematik, geht v. a. auf einen Mann zurück: Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) Unser Ausschweifen ins Reich des Unendlichen erklärt sich dadurch, dass hier Brouwer ein Extrem, entgegengesetzt zu Cantor oder Hilbert vertrat. Brouwer und Hilbert waren durchaus verfeindet - "Krieg zwischen Fröschen und Mäusen", lautete Einsteins Urteil. Im oben angeführten Zwiespalt zwischen ...
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