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Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbeigehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so außerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, dass deren genaues Studium für jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Höhe der Zeit stehen, ganz unerlässlich ist. Durch jene Ergebnisse gewinnen wir tiefste Einblicke in die Endlichkeit unseres Denkvermögens, in die Reichweiten und die Grenzen des axiomatisch-deduktiven Vorgehens ...
Wolfgang Stegmüller (1959)
Die für eine Philosophie der Wissenschaften wichtigste dieser metamathematischen Ergebnisse betreffen die sog. Unvollständigkeit zahlreicher axiomatisch aufgebauter Disziplinen, beispielsweise schon der Arithmetik. Die Unvollständigkeit besagt (am Beispiel der Arithmetik), dass durch Herleitungen aus einem Axiomensystem der Arithmetik nicht alle Sätze gewonnen werden können, die in der inhaltlichen, "voraxiomatischen" Arithmetik wahre Sätze über Grundzahlen sind. Dies ist in der Tat ein gewichtiges Resultat, da wir die Herleitbarkeit aller wahren Aussagen über die Gegenstände einer Disziplin als Hauptziel der Axiomatisierung erachtet haben. Der im Vollformalismus verwirklichte Präzisierungsgrad reicht also aus, um Unvollständigkeitsergebnisse, wie den berühmten Unvollständigkeitssatz Gödels, zu begründen:
"Wenn ein formales mathematisches und widerspruchsfreies Axiomensystem in der Lage ist, die Arithmetik der Zahlen 1,2,3,4,5, ... zu beschreiben, dann kann dieses Axiomensystem nie vollständig sein."
Wenn Zermelos Axiomensystem widerspruchsfrei ist, dann kann es nie vollständig sein. Ernst Zermelo (1872-1953), schuf 1908 das Axiomensystem, auf das Hilbert sein Programm aufbaute. Er versuchte nachzuweisen, dass das vorgeschlagene System widerspruchsfrei und vollständig ist. Zermelos Axiome haben die Mathematik so umfassend zu begründen, dass man aus ihnen jedes Problem, zumindest prinzipiell, einer Lösung zuführen kann. Seit Gödels Satz wissen wir jedoch, dass es stets ein mathematisches Problem (in der Sprache dieses Axiomensystems formuliert) gibt, welches mit den Mitteln des Systems weder positiv noch negativ gelöst werden kann. Weiters, dass jedes widerspruchsfreie, formale System, das stark genug wäre, die elementare Arithmetik einzuschließen, seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen könnte. Gödels Satz brachte zwar Hilberts Programm zu Fall, befreite dafür die Mathematik von der Illusion eine Wissenschaft zu sein, die rein mechanisch nachvollziehbar wäre.
Die dritte im Grundlagenstreit etablierte Schule war der Konstruktivismus. Um ihn behandeln zu können müssen wir uns zunächst Bereichen der Mathematik widmen, denen wir bis jetzt ausgewichen sind:
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