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Aufgabe:
f sei eine Polynomfunktion 3. Grades. Gf verläuft durch P(1/4). W(3/6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse 4 verläuft waagerecht. Bestimme den Funktionsterm.
Diskussion:
1. Allgemeine Funktionsgleichungen
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d allgemeiner Funktionsterm
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c 1. Ableitung
f''(x) = 6ax + 2b 2. Ableitung
2. Umsetzen der Bedingungen - Aufstellung des Gleichungssystems
f(1) = 1a + 1b + 1c + d = a + b + c + d = 4
f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 6
f'(4) = 48a + 8b + c = 0
f''(3) = 18a + 2b = 0 a = 1 b = -9 c = 24 d = -12
I. a + b + c + d = 4
II. 27a + 9b + 3c + d = 6
III. 48a + 8b + c = 0
IV. 18a + 2b = 0
II - I: 26a + 8b + 2c = 2 /:2
V. 13a + 4b + c = 1
III - V: 35a + 4b = -1
VI. 35a + 4b = -1
3. Lösen des Gleichungssystems
Auflösen von IV nach b: b = -9a
Einsetzen von b in VI: 35a + 4(-9a) = -1
35a - 36a = -1
a = 1
b = -9 , da b = -9a
Einsetzen von a, b in V: 13 - 36 + c = 1
c = 24
Einsetzen von a, b, c in I: 1 - 9 + 24 + d = 4
d = -12
Funktionsterm: f(x) = x3 - 9x2 + 24x - 12
4. Überprüfung der Bedingungen hier nicht notwendig
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