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PYTHAGORAS 1. DENKWEISEN GROßER MATHEMATIKER: Ein Weg zur Geschichte Der MathematikAutor: MESCHKOWSKI Herbert2. GESCHICHTE DER MATHEMATIKAutoren: KAISER - NÖBAUER3. SCHÜLERDUDEN Die Mathematik 14. BROCKHAUS5. Neue ENZYKLOPÄDIE des WISSENS6. DEM UNENDLICHEM AUF DER SPURAutor: MAOR Eli7. DAS UNENDLICHE Autor: TASCHNER Rudolf Pythagoras von Samos: Er war ein griechischer Philosoph und ist um 570 oder 580 v. Chr. in Samos geboren - das genaue Geburts ...
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Grundlagen der Mathematik Spezialgebiet in Mathematik Inhaltsangabe 1. Die axiomatische Methode Seite 2 1.1. Was ist die Axiomatisierung? 1.2. Isomorphie 1.3. Überprüfung von Axiomensystemen 2. Die Entwicklung von nichteuklidischen Geometrien Seite 4 2.1. Das Parallelenaxiom 2.2. Die nichteuklidischen Geometrien 3. Historische Entwicklung der Philosophie der Mathematik Seite 7 4. Das Sichern der Grundlagen Seite 8 4.1. Der Formalismus 4.2. Der Pl ...
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*~Kalkulationsaufschlag~
Der Kalkulationsaufschlag ist die Differenz vom Einstandspreis zum Verkaufspreis (VP), bezogen auf den Einstandspeis ( ...
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Die Quadratwurzel aus a ist diejenige nichtnegative Zahl , deren Quadrat a ergibt.
Man schreibt dafür a (gelesen: \"Quadratwurzel aus a\"oder kurz \"Wurzel a\")
( a )² = a
Merke: Die Zahl a unter der Wurzel nennt man Radikand.
Das Berechnen der Quadratwurzeln nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.
Für beliebige rationale Zahlen a gilt:
a² = a
Aus a² = b² folgt | a | = | b | , also a = b oder a = -b.
Eine Summe darf nie gliedw ...
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Gleichungen
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine Rechenaufgabe, in der eine Variable vorkommt, und bei der Werte gesucht werden, die man für die Variable einsetzen kann, so daß man hinterher eine richtige Zeile als Ergebnis hat. So ist z.B. 3+x=5 eine Gleichung, und wie man leicht sehen kann, ist 2 die einzige Lösung, da 3+2=5 ist. 4 ist zum Beispiel keine Lösung, da man, wenn man \"4\" für x einsetzt, 3+4=5 erhält, was offenbar fa ...
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Das Geburtsjahr des griechischen Philosophen kann nur in etwa angenommen werden. Seine Existenz soll aber nachgewiesen sein. Viele Jahre verbrachte er in Phönizien und Ägypten, wo er die hochentwickelte altägyptische und babylonische Mathematik und Astronomie studierte. In der Stadt Kroton (Süditalien) gründete er eine religiöse Sekte, die Pythagoreer. Die Pythagoreer waren der Meinung, dass sie Zugang zur mystischen Welt durch die Welt der Zahle ...
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Integralrechnung 1. Einführung Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung von Flächen. Dies geschieht, indem die Fläche zwischen der x-Achse, einer Funktion f(x) und den Ordinaten a und b ermittelt. Bei Fragestellungen in der Wissenschaft und im täglichen Leben kann die Integralrechnung helfen, z.B. Vorhersagen zu treffen oder Tendenzen von Funktionen aufzuzeigen. Mathematisch steht dahinter das Grundproblem der Analysis: "Aus dem Funktionswe ...
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1 bis Die \"2\" Basis mit den Exponenten 1 bis 10!
21= 2
22= 4
23= 8
24= 16
25= 32
26= 64
27= 128
28= 256
29= 512
210= 1024
Die \"3\" Basis mit den Exponenten 1 bis 10!
31= 3
32= 9
33= 27
34= 81
35= 243
36= 729
37= 2187
38= 6561
39= 19683
310= 59049
Die \"4\" Basis mit den Exponenten 1 bis 10!
41= 4
42= 16
43= 64
44= 256
45= 1024
46= 4096
47= 16384
48= 65536
49= 262144
410= 1048576
Die \"5\" Basis mi ...
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a) Vorwärtskalkulation
Listen -EP
-LiefererRabatt
Ziel-EP
-LiefererSkonto
Bar-EP
+Bezugskosten (BZK)
Einstandspreis
-------------bis hier hin Einkaufskalkulation, geht aber ansatzlos weiter , sofern es nötig ist. Und ab GKHW dann Verkaufskalkulation
+GKHW (GemeinkostenHanelsWaren)
SKP (Selbstkostenpreis)
-Gewinn
Bar-VP
+ KundenSkonto
Ziel-VP
+KundenRabatt
Listen-VP
Einkaufskalkulation: B ...
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1. FAKTORREGEL
f (x)=cou(x) f(x)= 4o(x5 - 3x2 + 1)
f\'(x)=cou\'(x) f\'(x)= 4o (5x4 - 6x)
Konstante Faktoren bleiben erhalten.
2. SUMMENREGEL
f(x) = u(x) + v(x) f(x) = 4x2 + x
f\'(x) = u\'(x) + v\'(x) f\'(x) = 8x + 1
Summen kann man summandenweise ableiten.
3. PRODUKTREGEL
f(x) = u(x) o v(x) f(x) = (x + 3) o (x2 - 4)
f\'(x) = u(x) o v\'(x) + u\'(x) o v(x) f\'(x) = (x + 3) o 2x + (x2 - 4)
4. QUOTIENTENRE ...
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Der geforderte Beweis wird oft durch Widerspruch geführt. Ich will das zunächst auch tun. Als zweiten Beweis gebe ich dann noch den durch vollst. Induktion. Man wird sehen, dass der Widerspruchsbeweis umständlicher ist. Es wird nämlich der Widerspruch genau mit der konstruktiven Idee für die vollst. Induktion erzeugt.
Wenn es wirklich unendlich viele Primzahlen gibt, kann man sicher nicht alle Primzahlen aufschreiben. Aber man kann die Möglichk ...
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Personen (n) Klänge Ansatz
1 0 = 0
2 1 = 11
3 3 = 13 n
4 6 = 2 3 (n-1)
5 10 = 2 5 n
6 15 = 3 5 (n-1)
7 21 = 3 7 n
8 28 = 4 7 (n-1)
(n-1) und n ausmultipliziert ergibt : .
Wenn n Personen anstoßen klingt es also mal.
a =
1.I ...
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The squaring of a parabola is one of Archimedes' most remarkable achievements. It was accomplished about 240 b.C. and is based upon the properties of Archimedes triangle.
An Archimedes triangle is a triangle whose sides consist of two tangents to a parabola and the chord connecting the points of tangency. The last mentioned side is taken as the base line or the bas of the triangle. In order to construct such a triangle we draw the parallels ...
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Definition:
mit
Eigenschaften:
arithmetische Folge 1.Ordnung:
Bei arithmetischen Folgen der Ordnung k,
ist die k-te Differenzenfolge eine konstante Folge:
an d k+d 2.k+d 3.k+d.....
an k k k......
praktisches Bsp.:
Frage: Welche Ordnung hat die Folge :
an 1 0 1 4 9
an -1 1 3 5
²an 2 ...
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Definition:
Eigenschaften:
1.) Der Quotient 2-er aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.
2.)
3.) Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn.
4.) Summenformel:
5.) unendliche geometrische Reihe:
n-Faktorielle:
n!=1.2.3.4.5.6..... (n-1) .n
Beispiel.:
5!=1.2.3.4.5=120
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Definition:
nennt man -Umgebung von a.
Häufungspunkt (HP) :
x heißt HP, wenn in jeder -Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen.
für unendlich viele n.
für unendlich viele n.
Definition von "fast alle"- Grenzwert (GW):
fast alle: Alle bis auf endlich viele.
a heißt GW der Folge, wenn in jeder -Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.
man sagt:"Di ...
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Grenzwertsätze von Funktionen:
Spezialfall:
ist \\ und ist dann gilt:
Bemerkung: wie bei Folgen gilt:
a) ist b=0 und existiert nicht!
b) ist b=0 und a=0 => gesonderte Untersuchung!
Einseitige Grenzwerte:
Definition:
1.) existiert der GW für für h>0, so nennt man ihn rechtsseitige
GW der Funktion f an der Stelle x0.
Schreib ...
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Differenzierbarkeit
Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ( "Lokale Differenzierbarkeit").
Definition:
1.) heißt
Differentialquotient von f an der Stelle x0 und x0+h.
2.)
heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0.
Ableitungsfunktion von f:
y=f(x)
y'=y'(x)=
Einseitige Differenzierbarkeit:
rechtsseitige Ableitung:
linksseitige Ableitung:
f ist differenzierbar an der ...
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Def.:
Für eine diff. bare Fkt. f: D W bezeichnet man als totales Differential.
Das totale Differential gibt die Ordinatenänderung der Tangente von der Fkt. f an, wenn die Abszissenänderung dx beträgt.
Für kleine dx stellt dy die 1. Änderung des Fkts.-Wertes dar.
Linearisierungsformel:
Anwendung: Näherungsverfahren (siehe später), Fehlerberechnung:
absolute Fehler: | Fehler von y | =
relative Fehler:
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(1) Definitionsbereich
(2) Achsenschnittpunkte
(3) Grenzwerte für x -> + x-> -
Grenzwertverhalten an den Polstellen
Ableitungen
(6) Extrempunkte
(7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung
1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1)
(1) Definitionsbereich
D(f) = R \\ {1}
Bedingung : x-1 0
x-1 = 0 x = 1
Achsenschnittpunkte
Schnittpunkte mit x-Achse
Bedingung : f(x) = ...
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