Lineare gleichungen

Gleichungen Was ist eine Gleichung?r /> Eine Gleichung ist eine Rechenaufgabe, in der eine Variable vorkommt, und bei der Werte gesucht werden, die man für die Variable einsetzen kann, so daß man hinterher eine richtige Zeile als Ergebnis hat. So ist z.B. 3+x=5 eine Gleichung, und wie man leicht sehen kann, ist 2 die einzige Lösung, da 3+2=5 ist. 4 ist zum Beispiel keine Lösung, da man, wenn man \"4\" für x einsetzt, 3+4=5 erhält, was offenbar falsch ist.
Man nennt die Menge aller Zahlen, die man in die Gleichung einsetzen kann, um dann eine richtige Aufgabe zu erhalten, die Lösungsmenge der Gleichung. Die Lösungsmenge kann sowohl leer sein (d.h. es gibt keine Lösung, z.B. bei x^2=-1) als auch ein Element oder mehrere Elemente enthalten. Es kann auch sein, daß jede Zahl in der Lösungsmenge enthalten ist, z.B. bei der Gleichung x=x, die offenbar für jede Zahl richtig ist.


Welche Arten von Gleichungen gibt es?
Die Gleichungen, die am einfachsten zu lösen sind, sind die sogenannten linearen Gleichungen. Dies sind Gleichungen, die nur Zahlen, eine Variable oder Vielfache dieser Variablen enthalten, wie z.B. 3x-5=2+9,6x. Weiter gibt es quadratische Gleichungen, die das Quadrat einer Variablen enthalten, wie z.B. x²+4x+4=25. Auch kennt man Wurzelgleichungen, die Wurzeln enthalten, und Bruchgleichungen, bei denen die Variable im Nenner eines Bruches steht.


Wie löst man lineare Gleichungen?
Lineare Gleichungen zu lösen ist recht einfach. Zuerst vereinfacht man beide Seiten der Gleichung. Anschließend stellt man durch Herüberaddieren oder Herübersubtrahieren die Gleichung so um, daß auf der einen Seite nur ein Vielfaches der Variablen steht und auf der anderen Seite nur eine Zahl. Zuletzt teilt man dann durch die Zahl, die vor der Variablen steht, und die Gleichung ist gelöst.
Beispiel: 3x-7+5=x+6. Vereinfachen beider Seiten ergibt: 3x-2=x+6. Subtrahiert man nun auf beiden Seiten das x, so erhält man 2x-2=6. Addiert man nun noch die 2 auf beiden Seiten, so erhält man 2x=8 und anschließend, wenn man beide Seiten durch 2 teilt, x=4. Somit ist 4 die einzige Lösung der Gleichung.



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