Der logizismus

Ebenfalls durch die Probleme, die zu Anfang des Jahrhunderts bestanden, angeregt, versuchten die Logizisten die Mathematik auf die Logik zurückzuführen. Die wichtigsten Vertreter dieser Richtung sind G. Frege (1848-1925), N. Whitehead (1861-1947) und B. Russell (1872-1970).
Zu Beginn zeigte sich, daß die Logik selbst einer neuen Darstellung bedurfte. Frege entwickelte eine Begriffsschrift, die von Whitehead und Russell zum mathematischen Logik weiterentwickelt wurde. Sie ist eng an die Symbole der Algebra angelehnt, um eine möglichst exakte Darstellung zu erreichen.
Die logizistische Definition der natürlichen Zahlen ist auf G. Frege zurückzuführen. Sie geht davon aus, daß jeder Menge eine Zahl zugeordnet werden kann. Jenen Mengen, die drei Elemente enthalten (Tripel), wird die Zahl Drei zugeordnet. Die Drei ist umgekehrt die Menge aller Tripel, also eine Menge von Mengen.
Weiters muß man feststellen können, ob Mengen tatsächlich gleich viele Elemente enthalten, ohne sie abzuzählen, da die Zahlen ja noch nicht definiert sind. Diese Feststellung ist nicht sehr kompliziert. Zwei Mengen müssen immer dann gleich viele Elemente haben, wenn man jedem Element einer Menge eindeutig eines aus einer anderen Menge zuordnen kann und umgekehrt.
Damit ist die Basis für die Definition der natürlichen Zahlen gegeben. Um die Null zu definieren bildet man den Begriff "nicht gleich sich selbst". Logischerweise muß die Menge die durch diesen Begriff definiert wird leer sein. Die Null ist nun die Zahl die durch diesen Begriff eindeutig definiert.
Die leere Menge ist die einzige Zahl, die die Null ausdrücken kann. Der Begriff "gleich Null" kann deshalb nur eine Menge, also die Eins, ausdrücken.
Per vollständiger Induktion erhält man dann alle weiteren Zahlen. Es sei a Element einer Menge F. Dann kann eine Menge bilden, die alle Elemente von F außer a enthält. Wenn diese neue Menge die Zahl n aussagt, so folgt, daß F die Zahl n+1 aussagt. Auf diese Weise ist der Nachfolger einer Zahl definiert. Aus dieser Definition folgt weiters, daß es unendlich viel natürlich Zahlen geben muß.
Die Erweiterung des Zahlenbegriffs über negative bis hin zu transfiniten Zahlen wurde von B. Russell und N. Whitehead vorgenommen. Alle Arten von Zahlen sind grundverschieden. Es ist daher falsch anzunehmen, daß im Logizismus die natürlichen Zahlen Sonderfälle von rationalen Zahlen sind.
Um positive und negative Zahlen auszudrücken führten sie die Operanden +1 und -1 ein. Wenn man mit negativen Zahlen rechnet, ist +1 anders definiert als die natürliche Zahl 1.
Ein Bruch ist als Beziehung zwischen zwei natürlichen Zahlen. m/n ist die Beziehung zwischen den Zahlen x und y, wenn nx=my gilt. Wie beim Rechnen mit negativen Zahlen gilt auch für das Rechnen mit rationalen Zahlen, daß 2/1 nicht der natürlichen Zahl 2 entspricht.
Die Definitionen der irrationalen, komplexen und transfiniten Zahlen übersteigen den Rahmen dieser Arbeit, und werden nicht angeführt.
Alle logizistischen Sätze sind Tautologien. Sie sind zwangsweise wahr, da sie von der Form "A oder nicht-A" sind. Dafür werden die Logizisten oft kritisiert. Zu sagen "Ich kann fliegen oder ich kann nicht fliegen", entbehrt jeglichen Inhaltes. Also, müßte die gesamte Mathematik ohne Inhalt sein. Weiters wird angemerkt, daß die Logik zur Durchführung des logizistischen Programms in eine symbolisierte Form gebracht wurde. Für eine solche Symbolisierung sind gewisse mathematische Kenntnisse notwendig. Wenn die Logik ihrerseits aus der Mathematik entspringt, dann ist hier ein Zirkel entstanden.