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Der Nachweis, daß die nichteuklidischen Geometrien widerspruchsfrei sein müssen, wurde von einem Mathematiker namens Klein erbracht. Es gelang ihm ein euklidisches Modell für die nichteuklidische Geometrie zu schaffen. Er schuf eine Kugel K im euklidischen Raum. "Punkte" sind alle Punkte innerhalb von K. Begriffe wie "Gerade" oder "zwischen" sind wie vor im euklidischen Sinne zu verstehen. "Bewegung" ist jene Kollineation, welche die Kugel in sich überführt.
"Kongruent" sind alle Figuren die durch eine "Bewegung" entstehen. Aus der Widerspruchslosigkeit der euklidischen Geometrie (vgl. Kap. 1) muß deshalb die der nichteuklidischen folgen.
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