Kurvendiskussion

Symmetrie: ( gr.: symmetros = übereinstimmend )
Allg.: Mit Symmetrie werden gewisse regelmäßige auf Kongruenz beruhende Figureneigenschaften bezeichnet. Gewöhnlich wird in der Ebene unter Symmetrie die axiale Symmetrie verstanden.
Man kann Achsen- und Punktsymmetrie untersuchen


 [ f(x) = f(-x) ]  Der Graph ist achsensymmetrisch.
 [ f(-x) = -f(x) ]  Der Graph ist punktsymmetrisch.


AUCH: Ein Polynom ist achsensymmetrisch, wenn NUR geradzahlige Exponenten vorkommen.
Ein Polynom ist punktsymmetrisch, wenn NUR ungeradzahlige Exponenten vorkommen.
Wenn sowohl gerade und auch ungerade Exponenten vorkommen, ist keine Symmetrie ( an y-Achse oder P(00) ) vorhanden.

Ausnahme: Symmetrie an beliebiger Achse oder beliebigem Punkt:

Spiegelung an x = a: A.S.:  [ f(x + a) = f(x - a) ]

Spiegelung an P(ab): P.S.:  [ b - f(a-x) = f(a+x) - b ]


Nullstellen:
Allg.: Eine Funktion f hat an einer Stelle x0 eine Nullstelle, wenn gilt: f(x0)= 0 .
Nullstellen werden durch Lösen der entsprechenden Gleichung bestimmt.

f(x) = 0 setzen

Monotonie:

Allg.: Eine Funktion f(x) ist
. streng monoton steigend ( Graph ist linksgekrümmt ) wenn:

 f '(x)  0

. streng monoton fallend ( Graph ist rechtsgekrümmt ) wenn:
 f '(x)  0

Sätze:
 Jede streng monotone Funktion ist eineindeutig, also umkehrbar.
 Jede monotone Funktion ist integrierbar.
 Die Monotonie folgt aus der oben genannten hinreichenden Bedingung für alle x in einem abgeschlossenen Intervall, in dem überall Differenzierbarkeit vorliegt.

 Aus der Monotonie folgend können die Extremwerte berechnet werden ( relative/absolute Maxima oder Minima )