Der konstruktivismus oder intuitionismus

Für die Konstruktivisten, allen voran L.E.J. Brouwer hat die Mathematik nicht nur einen formalen, sondern auch einen inhaltlichen Sinn. Die mathematische Gegenstände werden vom denkenden Geist begriffen. Die Mathematik ist daher unabhängig von der Erfahrung.
Für sie existiert nur, wofür ausgehend von intuitiv gewissen Grundlagen ein eindeutiger Weg angegeben werden kann, auf dem die fraglichen mathematischen Gebilde konstruiert werden können. Die Reihe der natürlichen Zahlen ist intuitiv gegeben und nicht anders denkbar. Folglich existieren die natürlichen Zahlen im mathematischen Sinne. Weiters sind alle Zahlen existent, die sich eindeutig konstruieren lassen. Da es ein Verfahren gibt, mit dem sich die Quadratwurzel aus zwei auf beliebig viele Dezimalen berechnen läßt, ist auch sie existent.
Das gleiche Prinzip gilt für Sätze. Ein Beweis kann als Konstruktion, wie ein Satz als wahr festgestellt werden kann, aufgefaßt werden. Ein Satz ist nur wahr, wenn es einen konstruktivistischen Beweisgang gibt.
Was sich nicht konstruieren läßt, hat für Brouwer keine Existenz. Es konnte zum Beispiel gezeigt werden, daß es eine Gruppe von irrationalen Zahlen gibt, die nicht Lösungen von algebraischen Gleichungen sein können, die sogenannten transzendenten Zahlen. Da man bei einer vorliegenden Zahl aber nicht entscheiden kann, ob sie algebraisch oder transzendent ist, haben solche Zahlen bei Brouwer keine Existenz.
Der Konstruktivismus wird nur von einer kleinen Zahl von Mathematikern vertreten. Der wichtigste von ihnen ist L.E.J Brouwer. Ein Grund dafür ist wohl ihre Interpretation der Axiome der Logik. Die Konstruktivisten lassen nämlich den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nur eingeschränkt gelten. Im Endlichen wird er auch von den Konstruktivisten anerkannt, wenn aber eine Aussage über das Unendliche gemacht wird, so ist er nicht mehr gültig. Demnach kann ein Satz nicht nur wahr oder falsch, sondern auch unentscheidbar sein.
Brouwer benutzte die Fermat'sche Vermutung, um seinen Standpunkt zu erklären. Bis heute gibt es keine Lösung dafür. Brouwer hält es nun für möglich, daß es überhaupt keine Lösung gibt.
Da auch die Methode des indirekten Beweises auf dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten beruht, lassen die Konstruktivisten, diese Art der Beweisführung nicht zu. Sie bemühen sich um konstruktivistischen Beweise, was ihnen in einigen Fällen gelingt. Einige Sätze, wie zum Beispiel das Gesetz der Trichotomie, welches besagt, daß jede Zahl entweder positiv, negativ, oder Null ist, gelten für sie aber immer noch nicht.