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Der Begriff "Algebra" kommt von Algebra et Almucabala. Das ist die lateinische Übersetzung eines arabischen Lehrbuchs über das Lösen von Gleichungen aus dem Jahr 820 und bedeutet "Das Hinüberbringen". Gleichungen entstehen, wenn du ein Problem in der Sprache der Mathematik ausdrückst. Die einfachsten Gleichungen sind Gleichungen mit einer Unbekannten, also mit einer Größe, die nicht bekannt ist und sich berechnen lässt.
GLEICHUNGEN MIT EINER UNBEKANNTEN
Meist suchst du eine Zahl, die bestimmte Bedingungen erfüllen soll. Dazu folgendes Beispiel:
Wie viele Monate musst du sparen, um dir ein Handy für 180 Euro kaufen zu können? Du hast schon 20 Euro und kannst jeden Monat 8 Euro sparen. Natürlich kannst du so eine einfache Aufgabe im Kopf rechnen. Es sind 20 Monate. Aber du kannst auch einmal so tun, als ob du das nicht weißt, und nennst die unbekannte Monatszahl x. Dann sparst du in x Monaten 8x Euro, und da du schon 20 Euro hast, lautet die Bedingung für x:
8x + 20 = 180.
Das ist die Gleichung deines Problems. Jetzt kommt das "Hinüberbringen":
Erst bringen wir die 20 auf die andere Seite, d. h., wir müssen von beiden Seiten 20 abziehen:
8x = 180 - 20 = 160.
Dann bringen wir die 8 hinüber: Jetzt müssen wir beide Seiten durch 8 teilen (da ja "8 mal x" und nicht "8 plus x" auf der linken Seite steht). Also:
x = 160 : 8 = 20.
Vielleicht siehst du die Vorteile, so zu rechnen, erst bei schwierigeren Aufgaben ein. Du hast beispielsweise gehört, dass Handys gerade jeden Monat im Durchschnitt 2 Euro billiger werden. Jetzt lautet die Gleichung:
8x + 20 = 180 - 2x,
denn in den x Monaten, die du sparen musst, wird das Handy um 2x Euro billiger. Das Lösen geht wieder mit "Hinüberbringen":
Erst bringen wir die 2x auf die linke Seite, d. h., wir müssen auf beiden Seiten 2x addieren:
2x + 8x + 20 = 180,
also
10x + 20 = 180.
Und nun geht es wie früher:
10x = 180 - 20 = 160
x = 16.
Du brauchst also jetzt nur noch 16 Monate zu sparen.
Wie ist es nun, wenn du am Anfang nur 10 Euro oder sogar 30 Euro hast, wenn du nur 6 Euro oder sogar 9 Euro im Monat sparen kannst und wenn du ein anderes, billigeres Handy aussuchst? Musst du dann jedes Mal alles neu ausrechnen? Du weißt, Mathematiker sind faul und wollen nicht die gleichen Dinge zweimal tun. Wir nehmen einfach für die Zahlen, die wir noch nicht wissen, Buchstaben und rechnen mit ihnen, als ob es Zahlen wären:
Du sparst a Euro im Monat, hast b Euro am Anfang und willst ein Handy für c Euro kaufen.
Jetzt lautet die Gleichung:
ax + b = c,
und du löst sie wieder mit Hinüberbringen:
ax = c - b
x = (c - b) : a.
Jetzt kannst du irgendwelche Werte für a, b und c einsetzen und erhältst die Sparzeit, für unser Beispiel:
Sparrate a = 9 Euro, Anfangsgeld b = 15 Euro und Handypreis c = 150 Euro ergibt:
x = (150 - 15) : 9 = 135 : 9 = 15 Monate.
Schwieriger wird das Lösen von Gleichungen, wenn die Unbekannte x in einer höheren Potenz vorkommt. Im Artikel Mathematik und Rechnen hatten wir nach einer Zahl gesucht, deren Quadrat 2 ergibt. Nennen wir die unbekannte Zahl wieder x, so müssen wir die Gleichung
x2 = 2
lösen.
Wir nannten die Lösung damals Ã. Aber natürlich ist -Ã auch eine Lösung, denn "minus mal minus ist plus". Die Gleichung hat also zwei Lösungen!
Und wie ist es mit der Gleichung
x2 = -1?
Kann es eine Zahl geben, deren Quadrat negativ ist? Die Zahl kann nicht positiv sein, denn "plus mal plus ist plus". Sie kann aber auch nicht negativ sein, denn "minus mal minus" ergibt wieder "plus". Die Gleichung ist also unlösbar. Natürlich geben die Mathematiker nicht so schnell auf. Sie bilden sich ein, auch hierfür Lösungszahlen zu haben, die sie dann auch imaginäre Zahlen nennen. Was können das wohl für Zahlen sein? So weltfremd sind diese imaginären Zahlen aber auch wieder nicht: Wenn du den elektrischen Strom mathematisch beschreiben willst, wirst du ohne sie nicht auskommen!
GLEICHUNGEN MIT MEHREREN UNBEKANNTEN
Bei vielen Problemen tauchen gleich mehrere Unbekannte auf. Auch hierzu ein Beispiel:
Du erinnerst dich an einen Geburtstag. Dein Vater sagte damals: "Heute bin ich 3-mal so alt wie du, aber in 10 Jahren bin ich nur noch doppelt so alt wie du." Wie alt waren du und dein Vater damals? Nennen wir dein unbekanntes Alter von damals x und das deines Vaters y. Dann übersetzen sich die zwei Aussagen deines Vaters in zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten x und y:
y = 3x,
also damals, und
y + 10 = 2(x + 10), nach 10 Jahren.
Da nach der ersten Gleichung y = 3x ist, kannst du das in die zweite Gleichung einsetzen und erhältst:
3x + 10 = 2(x + 10),
also
3x + 10 = 2x + 20,
und wieder mit "Hinüberbringen" der 10 und dann der 2x:
3x - 2x = 20 - 10,
also
x = 10.
Also warst du damals 10 Jahre alt und dein Vater 30. Nach 10 Jahren bist du 20 Jahre alt und dein Vater 40.
Bei den meisten Problemen in unserer Welt gibt es viele Unbekannte und viele Gleichungen. Manche haben mehrere Lösungen, unter denen wir wählen können, manche haben gar keine Lösung. Wenn die Mathematik sagt: "Es gibt keine Lösung", so ist das vielleicht schade, aber wenigstens brauchst du dann nicht weiterzusuchen.
VERKNÜPFUNGEN
Die heutige Algebra rechnet nicht nur mit Zahlen und Buchstaben. Sie kann auch andere Dinge verknüpfen und mit ihnen rechnen, als ob es Zahlen wären. Zum Beispiel können wir mit "gerade" und "ungerade" so rechnen (denk an gerade und ungerade Zahlen):
gerade + gerade = gerade
gerade + ungerade = ungerade
ungerade + ungerade = gerade
gerade × gerade = gerade
gerade × ungerade = gerade
ungerade × ungerade = ungerade.
Wenn du statt "gerade" die Null nimmst und statt "ungerade" die Eins, ist das wie das Rechnen mit 0 und 1, aber mit einer Ausnahme: 1 + 1 ist jetzt 0. Etwas verrückt? Solche Rechenbereiche aus endlich vielen Elementen spielen heute bei Computern oder bei der Verschlüsselung von Nachrichten eine große Rolle!
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