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In den bisher betrachteten Beispielen handelt es sich um Erlebensfallversicherungen. Beim Erreichen eines bestimmten Lebensalters tritt der Versicherungsfall ein.
Beispiel 2)
Der jetzt 45-jährige Herr Koller schließt eine Lebensversicherung mit der Summe
75.000 € ab, die ihm auszuzahlen ist, wenn er 50 Jahre alt wird. Er zahlt aber keine einmalige Prämie, sondern zahlt alljährlich bis (spätestens) zu seinem 49. Lebensjahr eine Prämie P ein.
Wie hoch ist diese bei p=3% ?
Wir benötigen dazu noch die statistischen Daten darüber, wie viele von 100.000 Neugeborenen 45, 46, 47, 48, 49, 50 Jahre alt werden.
Überlegung: Wenn sich alle in der Tabelle genannten versicherten, dann betrüge die Summe der von den Versicherten entrichteten Beträge bezogen auf den jetzigen Zeitpunkt:
91.839*P+ + + +
und wäre gleich der Summe aller vom Versicherer ausbezahlten Beträge bezogen auf heute, also P= 13.441,19 €
Vereinfachung:
*P+ + + + =
Um einfacher zu handhabende Werte zu erhalten, die außerdem vom konkreten Beispiel unabhängiger sind, multiplizieren wir in der Gleichung gliedweise mit dem Faktor
+ + + + =
Die hier auftretenden Ausdrücke der Form , sind Barwerte der Zahl der Lebenden, bezogen auf den Zeitpunkt der Geburt. Man spricht von der „diskontierten Zahl der Lebenden vom Alter x“ und verwendet die Bezeichnung . Es gilt: = . Diese Werte werden ebenfalls in die Tabelle mit den aufgenommen. Wir erhalten somit: P*(D45 +D46+D47+D48+D49 ) = K*D50
Die Berechnung der Klammer kann mit einem Trick vereinfacht werden. Man nimmt in die Tabelle auch Summenwerte („kumulierte Werte) auf.
Es gilt: N45 = D45+ D46+ D47+ ... (bis ans Tabellenende)
Allgemein: Nx = Dx+ Dx+1+ Dx+2+ ...
Somit ergibt sich: P*( N45 - N50 ) = K* D50
P =
ad Bsp 2)
Berechnung der jährlichen Versicherungsprämie von Herrn Koller mit der Formel
P =
P = = 13.441,07 €
(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)
ad Bsp 1)
Berechnung mit Hilfe der Sterbetafel:
P * = K *
P * D45 = K * D60
P = 4.126,93 €
(anderes Ergebnis als vorher wegen Weglassung der Nachkommastellen in der Sterbetafel)
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