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Es gibt verschiedene Arten von Versicherungen. Stets zahlt der Versicherer (die Versicherungsanstalt) dem Versicherten einen Betrag – die Versicherungssumme – aus, wenn der Versicherungsfall eintritt. Der Versicherungsfall ist irgend ein Ereignis, z.b. Ein Unfall, eine Feuersbrunst, ein Einbruch, eine Haftung für ein Verschulden, das Erleben eines bestimmten Alters, ein Todesfall u.a. m. Der Versicherte entrichtet dafür dem Versicherer eine e ...
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In den bisher betrachteten Beispielen handelt es sich um Erlebensfallversicherungen. Beim Erreichen eines bestimmten Lebensalters tritt der Versicherungsfall ein.
Beispiel 2)
Der jetzt 45-jährige Herr Koller schließt eine Lebensversicherung mit der Summe
75.000 € ab, die ihm auszuzahlen ist, wenn er 50 Jahre alt wird. Er zahlt aber keine einmalige Prämie, sondern zahlt alljährlich bis (spätestens) zu seinem 49. Lebensjahr eine Prämie P ei ...
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Eine Rente, die der Bezieher bis zu seinem Tod erhält, heißt Leibrente.
Beispiel 3)
Der 59-jährige Herr Falmer sichert sich durch Erlegen von 30.000 € eine Leibrente in der jährlichen Höhe r, die nach einem Jahr beginnt. Wie hoch ist diese Leibrente?
30.000 * = r* + r* + r * + ...
30.000 * D59 = r* (D60 + D61 + D62 + ,...)
30.000 * D59 = r* N60
r =
r =
r = 2.443,53
Die jährliche Leibrente beträgt 2.44 ...
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Beispiel 5)
Der 40 jährige Herr Müller schließt auf seinen Todesfall eine Versicherung von
75.000 € ab. Die Versicherungssumme wird dann seinen Erben ausbezahlt. Er zahlt bis zu seinem Ableben jährlich die Prämie P. Wie hoch ist diese Prämie?
Wir gehen davon aus, dass alle 40-,41-, ... jährigen die Prämie P einzahlen und alle Sterbenden im 40., 41., .. Jahr die Versicherungssumme erhalten.
P * + P * + P * + ... = 75.000 * + ...
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Beispiel 6)
Der 40-jährige Herr Moller versichert einen Betrag von 35.000 €, der an ihn mit dem vollendeten 60. Lebensjahr ausbezahlt werden soll oder im Fall seinen vorherigen Todes an seine Erben am Ende seines Sterbejahres. Er zahlt jährliche Prämien P bis zu seinem 59. Lebensjahr oder seinem vorherigen letzten Lebensjahr.
Wie hoch ist die Prämie P ?
P * + P * + ... + P * = 35.000 * + ... + 35.000 * + 35.000 *
Abl ...
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Aufgabe:
f sei eine Polynomfunktion 3. Grades. Gf verläuft durch P(1/4). W(3/6) ist Wendepunkt des Graphen. Die Tangente am Kurvenpunkt mit der Abszisse 4 verläuft waagerecht. Bestimme den Funktionsterm.
Diskussion:
1. Allgemeine Funktionsgleichungen
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d allgemeiner Funktionsterm
f’(x) = 3ax2 + 2bx + c 1. Ableitung
f’’(x) = 6ax + 2b 2. Ableitung
2. Umsetzen der Bedingungen - Aufstellung des Glei ...
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n = Anzahl
k = Ziehungen
Geordnete Stichprobe (Reihenfolge entscheidend)
Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen:
nk
Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen:
n . (n – 1) . (n – 2) ..... (n – k + 1)
Ungeordnete Stichprobe (Reihenfolge nicht entscheidend)
Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen:
n + k – 1
k
Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen:
n
k
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Der Wissensstand der Mathematik bis zum Ende des 15. Jahrhunderts wurde als eine der ersten Zusammenfassungen von dem italienischen Mönch Luca Paccioli veröffentlicht. Seine Schrift mit dem Namen „Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalitata“, die er 1487 verfaßte und 1494 in Venedig erschienen ist, enthält Abhandlungen aus den Bereichen Geometrie, Buchhaltung, Proportionslehre, Polyeder und vieles mehr. Auch lineare und qua ...
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Um die kubischen Gleichungen vollständig lösen zu können, ist sowohl die Kenntnis trigonometrischer Funktionen wie auch das Rechnen mit komplexen Zahlen erforderlich. Hierin liegt auch die Ursache für den „Casus irreducibilis“, da die damalige Mathematik manchen rechnerischen Mitteln noch nicht mächtig war, wie wir später noch ausführlich betrachten werden.
Um die Herleitung etwas überschaubarer zu gestalten, werden längere Glei¬chungsumformun ...
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1. Allgemeines
Binäre Bäume werden grundsätzlich verwendet, um Zahlen der Größe nach, oder Wörter dem Alphabet nach zu sortieren. Dem einfacheren Verständnis zu Liebe werde ich mich hier besonders auf die Zahlen beziehen, doch mit Buchstaben besteht in der Funktionsweise kein Unterschied.
Zur Definition einiger Begriffe:
Knoten bzw. Knotenpunkte sind die Stellen, wo die Zahlen eingetragen werden.
Wurzel wird der aller oberste Knoten genan ...
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Als Sohn armer Eltern wurde er am 30.April 1777 in Braunschweig geboren und starb am 23.Februar 1855 in Göttingen. Sein Motto lautete: \'Pauca sed matura\' (Weniges, aber Reifes)
C.F. Gauß sagte später, er habe das Rechnen vor dem Reden gelernt. Sein Leben lang behielt er die Gabe, die kompliziertesten Rechnungen im Kopf auszuführen. Klassisch ist die Geschichte in der Schule als der Lehrer den zehnjährigen Schülern die Aufgabe gibt, die Summ ...
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Alte Völker glaubten, die Kräfte des Chaos und der Ordnung seien ein Teil einer unbehaglichen Spannung. Sie stellten sich etwas Unermeßliches und Kreatives vor. „Tohu wabohu“ - die Erde war wüst und leer, das Chaos vor der göttlichen Schöpfung (Altes Testament, 1. Buch Mose). Kosmologien aller Kulturen stellten sich einen Anfangszustand vor, in dem Chaos oder Nichts vorherrschten, aus dem die Wesen und die Dinge hervorbrachen.
In der babylo ...
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Als eine Faustregel für die Unterscheidung zwischen linearen und nichtlinearen Systemen kann gelten: Während ein lineares System exakt die Summe seiner Teile darstellt, umfaßt ein nichtlineares stets mehr als die Summe seiner Einzelteile. Wer nichtlineare Gleichungen löst, bewegt sich scheinbar in einer normalen mathematischen Landschaft, kann sich aber ganz plötzlich in einer anderen Wirklichkeit wiederfinden. In einer nichtlinearen Gleichung ...
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Unter Determinismus versteht man eine Form der Weltsicht, nach der alle Ereignisse und Vorgänge auf der Welt durch klare mathematische, physikalische oder chemische Gesetzmäßigkeiten ablaufen. Im religiösen Determinismus steht der Wille Gottes hinter allem Geschehen. Damit setzt sich die Chaosforschung in bewußten Gegensatz zu dem reduktionistischen Weltbild der klassischen Newtonischen Mechanik, der einfachen Kausalität (Zusammenhang von Ursac ...
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Schmetterlingseffekt:
Der Meteorologe Edward N. Lorenz entdeckte im Jahr 1963 den Schmetterlingseffekt bei dem Versuch, per Computer die Wettervorhersage zu präzisieren. Als er mit dem Computer eine Berechnung wiederholte, stellte er fest, daß sich die neue Zahlenreihe - der Wetterverlauf - stark von der vorherigen unterschied. Zunächst dachte er an einen Computerfehler, doch bei genauerer Betrachtung entdeckte er die tatsächliche Ursache: L ...
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Kleine und kleinste Ursachen beziehungsweise Unterschiede bei den Anfangsbedingungen in rückgekoppelten Systemen erzeugen größte Wirkungen und unvorhersehbare Abweichungen. Auf die Frage: „Wie stabil ist unser Sonnensystem?“ gab es grundsätzlich keine Antwort. Erst mit Hilfe des Computers und dessen riesigen Kapazitäten zur Datenverarbeitung gelang es, die für de Verlauf der drei unterschiedlichenHimmelskörperbahnen notwendigen Differentialglei ...
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Fraktale (lat. Fractum: gebrochen) verdanken ihren Namen der Tatsache, daß ihre Dimensionen nicht ganzzahlig, sondern gebrochen sind. Zum Vergleich: Unser Gehirn hat beispielsweise die fraktale Dimension 2,79 und Wolken 2,35 - wobei die Dimension zwei einer idealen, glatten Ebene entspricht oder die Dimension drei dem geometrisch idealen Raum eines Würfels oder einer Kugel. Fraktale besitzen die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, d. h., daß sic ...
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Dialectical materialism, elaborated by Karl Marx and Frederick Engels, was concerned with much more than political economy: it was a world view. Nature, as Engels in particular sought to demonstrate in his writings, is proof of the correctness of both materialism and dialectics. \"My recapitulation of mathematics and the natural sciences,\" he wrote, \"was undertaken in order to convince myself also in detail…that in nature amid the welter of inn ...
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Der Begriff \"deterministisch\" (lat.: bestimmbar, berechenbar) bedeutet, daß das beschriebene System durch lösbare Gleichungen beschreibbar ist. Daraus folgt jedoch nicht, daß es eine Funktion geben muß, die die Phase(2) eines Systems zur Zeit in Beziehung setzt. Der Begriff \"Chaos\" heißt, daß das Zeitverhalten des Systems irregulär ist. Es darf also nicht periodisch sein, d.h. es darf sich nicht wiederholen.
Deterministische chaotische Proz ...
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Laplace behauptete 1776, daß man den Zustand des Universums für künftige Jahrhunderte genau bestimmen könne, sofern man den augenblicklichen Zustand ebenso genau bestimmen könne.(6) Doch 1903 wurde diese Behauptung von Poincaré widerlegt, der feststellte, daß \"ein kleiner Fehler zu Anfang (...) später einen großen Fehler zur Folge haben [wird]. Vorhersagen werden unmöglich und wir haben ein zufälliges Ereignis.\"(5)
Könnte man aber den Zustand ...
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