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In dieser Facharbeit werden zwei chaotische Experimente theoretisch behandelt: das Magnetpendel und das Drehpendel. Hierfür wurden Computersimulationen in der Sprache \"C\" programmiert, deren Ergebnisse ausgewertet und daraus generelle Erkenntnisse der Chaosforschung abgeleitet werden. Dabei wird auch deutlich, daß selbst das Chaos an gewisse \"Regeln\" gebunden ist, daß es Aspekte gibt, die in jedem chaotischen Experiment zu finden sind und daß ...
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Drei mit verschiedenen Farben (rot, gelb und blau) gekennzeichnete, gleich große und gleich starke Magneten werden so auf eine Ebene gestellt, daß sie die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 20 cm bilden. Über den Schwerpunkt dieses Dreiecks wird ein Pendel (ein Faden von etwa 1,5 m Länge, an dem eine mit Graphit bedampfte Styroporkugel mit einem Durchmesser von etwa 3 cm befestigt ist) gehängt, so daß es die Magneten knapp ni ...
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Bewegt man das Pendel zu einem beliebigen Anfangspunkt und läßt ihm dann freien Lauf, so bewegt es sich in chaotischen Schleifen und kommt schließlich (wegen der Luftreibung) über einem der drei Magneten zum Stillstand. (Abb. 2.2.1)
Aber über welchem? Neben den durch die Anordnung bestimmten Konstanten ist die Startposition die einzige Größe, die auf das Ergebnis Einfluß nimmt. Ein Magnet zieht das Pendel dann an sich, wenn es in seiner un ...
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[Kleiner Ausschnitt gekürzt, ebenfalls wegen Formeln]
Dieser Abschnitt beschäftigt sich deshalb mit den Auswirkungen der Veränderung der Reibung. Verkleinert man beispielsweise die Reibungskonstante µ, so verliert das Pendel erst später seine Energie; es pendelt also länger. Dadurch wird der Unterschied der Bahnen von zwei benachbarten Anfangspunkten immer größer. Dies wirkt sich besonders an den Grenzen der Attraktionsgebiete(1) aus: sie verza ...
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Vergrößert man immer wieder Ausschnitte von Grenzverläufen, so wird man feststellen, daß zwischen den Attraktionsgebieten zweier Magneten immer das Attraktionsgebiet des dritten Magneten liegt. Wie kann das sein?
Befindet sich das Pendel in der Nähe der Grenze zweier Attraktionsgebiete, ist die Anziehungskraft von dem näheren der konkurrierenden Magneten größer. Der stärkere Magnet \"gewinnt\" und kann das Pendel an sich reißen. Was passiert ab ...
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Versucht man, das Pendel mehrmals am gleichen Anfangspunkt zu starten, so könnte vermutet werden, daß das Pendel immer eine ähnliche Bahn beschreiben und schließlich beim selben Magneten hängenbleiben wird. Diese Vermutung beruht auf dem Axiom der starken Kausalität, das James C. Maxwell 1879 folgendermaßen beschrieb: \"Es ist eine metaphysische Doktrin, daß gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutz ...
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3.1 Versuchsaufbau
Ein Rad ist mit seinem Mittelpunkt an einer Stange befestigt, die frei drehbar gelagert ist. An der Stange ist außerdem eine Spiralfeder angebracht, die das Rad im unangeregten Zustand in eine Ruheposition bringt. Nun wird die Feder durch einen Oszillator angeregt, was mit der Anregung des Rades durch den Oszillator gleichzusetzen ist. Die Drehung wird durch einen Wirbelstromkreis, dessen Stärke frei einstellbar ist, ge ...
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4.1 Bifurkationszenario
Bei einem relativ hohen M0 Brems (=0,105) tritt eine periodische Schwingung auf (Abb. 4.1.1). Bei einer Verkleinerung der Dämpfung ist eine höhere Schwingungsamplitude zu erwarten, da die Wirbelstrombremse weniger Energie abführt. Weil sich aber auch die Geschwindigkeit (und damit auch die Bremswirkung) des Pendels erhöht, wird die Amplitude nicht laufend höher, sondern pendelt sich bei einer gewissen (etwas größeren) Amp ...
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1. Einführung
Diese Facharbeit behandelt drei Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Im ersten werden zunächst die theoretischen Grundlagen der Verfahren dargelegt, im zweiten Teil folgt dann die Umsetzung der Verfahren in Computerprogramme.
Zunächst soll allerdings zuerst einmal der Aufbau der linearen Gleichungssysteme erklärt werden.
1.1 Aufbau einer linearen Gleichung
Lineare Gleichungssysteme sind ihrerseits aus linearen ...
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Die drei obigen Algorithmen per Hand auszuführen wäre sehr zeitaufwendig und mühselig. Ständig diesselben Rechenoperationen zu betreiben, wären für einen Menschen zu ermüdend. Ein einziger Rechenfehler würde die ganze Arbeit wertlos machen, da dieser Rechenfehler das Ergebnis völlig verfälschen würde.
Mehr an Bedeutung gewinnen die Algorithmen, wenn man sie von Computern ausführen läßt. So lassen sich Rechenfehler ausschließen, man muß ledigli ...
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Der Frostig-Test enthält fünf Untertests:
Visumotorische Koordination
Figur-Grund-Unterscheidung
Formkonstanz
Erkennen der Lage im Raum
Erfassen räumlicher Beziehungen
Wie sollte nun in der Grundschule an einem mathematischen Problem herangegangen werden?
Die vier Verinnerlichungsstufen
1. Das konkrete Handeln mit Gegenständen
2. Bildliche Darstellung mit grafischen Zeichen und Markierungshilfen
3. Darstell ...
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Man unterscheidet zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen, d.h. es tritt nur eine unabhängige Veränderliche auf, nur eine Funktion ( z.B.: y = y' ), partiellen Differential- gleichungen, welche mehrere Funktionen enthalten ( z.B.: y = y' + g (x) ), auch als "Differentialgleichungen mit separierbaren Variablen" bezeichnet, da man in ihnen zum Auffinden einer Lösungsfunktion die verschiedenen Variablen trennen muss. Weitere Formen von Diffe ...
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Die Integralrechnung entstand ursprünglich aus dem Problem, den Inhalt solcher ebenen Bereiche zu erklären, die von beliebigen Kurven begrenzt werden. Die Integralrechnung bedient sich dabei der Untersuchung von Grenzwerten und hängt eng mit der Differentialrechnung zusammen.
Wie bei der Differentialrechnung ist es auch bei der Einführung in die Integralrechnung zweckmäßig, aus den vielen verwandten Problemstellungen bezüglich der Anwendung der ...
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Man schreibt dafür a (gelesen: "Quadratwurzel aus a"oder kurz "Wurzel a")
( a )² = a
Merke: Die Zahl a unter der Wurzel nennt man Radikant.
Das Berechnen der Quadratwurzeln nennt man Wurzelziehen oder Radizieren.
Für beliebige rationale Zahlen a gilt:
a² = a
Aus a² = b² folgt | a | = | b | , also a = b oder a = -b.
Eine Summe darf nie glied ...
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Der Aufbau
. Grundgedanke
Das Programm dient dazu, das Arbeiten mit dreieckigen, ebenen Flächen in diesem Teilgebiet der Analytik, Geometrie und Mathematik wesentlich zu vereinfachen, so daß sowohl für Anfänger, Fortgeschrittene als auch für Leute die täglich mit derartigen Problemstellungen konfrontiert werden, ein unheimlich schneller Zugang zu Daten zur Verfügung steht, die ohne diesem Programm erst mühselig errechnet oder konstruiert ...
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\"Das Lernen von Mathematik ist umso wirkungsvoller ..., je mehr es im Sinne eigener aktiver Erfahrungen betrieben wird, je mehr der Fortschritt im Wissen, Können und Urteilen des Lernenden auf selbständigen entdeckerischen Unternehmungen beruht.\"3)
Winter führt für diese These folgende Argumente an:
Lernen mit und durch Einsicht ist auf Dauer wirkungsvoller und ökonomischer, da aufgrund der emotionalen Anteilnahme des Lernenden am Ent ...
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J. S. Bruner geht davon aus, dass nur ein Mensch, der in seiner Umwelt Ordnungen und Beziehungen erwartet, nach ihnen suchen und sie finden wird.
Zur Begründung dieser Ansicht beruft er sich auf ein psychologisches Experiment, bei dem die Versuchsperson an einem Zweifachwahlapparat durch Drücken der linken oder rechten Taste Marken gewinnen kann. Die Marken werden bis auf die Tatsache, dass Drücken der rechten Taste in 70% aller Fälle erfolg ...
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Da Bruner von der Prämisse ausgeht, dass das Hauptproblem des menschlichen Gedächtnisses nicht das Speichern von Informationen, sondern ihr Abrufen ist, stellt sich ihm der Gedächtnisprozess als Prozess des Problemlösens dar: Wie muss ich die Information platzieren, damit ich sie auf Abruf bekomme? Da für das Entdecken im Gedächtnis vorhandene Information abgerufen, auf die konkrete Fragestellung angewendet und mit neuen Erkenntnissen kombinier ...
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\"Beweis,
1) Logik, Wissenschaftstheorie: Darlegung der Richtigkeit (Verifikation) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) von Urteilen durch log. oder empir. Gründe (Deduktion, Induktion). Ein B. ist somit ein gültiger Schluss aufgrund von wahren Aussagen (Prämissen , Konklusion ).\"
Dies ist die Definition des Begriffs Beweis, so wie er im Lexikon steht. Er ist also das Ergebnis eines Schlusses. Es gibt höchst verschiedene Schlussformen, n ...
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Die Induktion liefert wie in Kapitel 2 erläutert keinen eindeutigen Beweisschluss. In der Mathematik ist man jedoch bestrebt, durch deduktive Methoden eindeutige Aussagen zu formulieren. Eine Möglichkeit, eine Induktionsvermutung über die natürlichen Zahlen zu beweisen, bietet das auf den Eigenschaften der natürlichen Zahlen (siehe Kpt.4) beruhende Verfahren \"Vollständige Induktion\".
3.1 Vorstellung des Verfahrens
Grundlage des ...
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