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\"Beweis,
1) Logik, Wissenschaftstheorie: Darlegung der Richtigkeit (Verifikation) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) von Urteilen durch log. oder empir. Gründe (Deduktion, Induktion). Ein B. ist somit ein gültiger Schluss aufgrund von wahren Aussagen (Prämissen , Konklusion ).\"
Dies ist die Definition des Begriffs Beweis, so wie er im Lexikon steht. Er ist also das Ergebnis eines Schlusses. Es gibt höchst verschiedene Schlussformen, nicht nur in der Mathematik. In den folgenden Kapiteln werde ich u.a. klären, in welchem Zusammenhang der Beweis durch vollständige Induktion einzuordnen ist.
2.1 Demonstratives Schließen (Deduktion)
In der Mathematik unterscheidet man zwischen plausiblem Schließen und demonstrativem Schließen. Die eigentlich typische Methode der Mathematik ist das Letztere, da man hier durch logische Gründe die Gültigkeit eines Urteils demonstriert (zeigt), d.h. man beweist anhand schon vorhandener Definitionen. Dieses Verfahren nennt man auch Deduktion (lat. \"Herabführung\"), weil man neue Aussagen aus schon vorhandenen, allgemeineren Aussagen herleitet. Grob gesagt ist es der Schluss vom Allgemeinen auf das Besondere.
2.2 Plausibles Schließen (Induktion)
Die andere Methode, plausibles Schließen, besteht darin, dass man die aus Beobachtungen erwachsene (n) Vermutung (en) zu einer neuen Aussage formt. Dies ist eigentlich die Arbeitsweise in den Erfahrungs-wissenschaften (Naturwissenschaften, Psychologie; Gesellschaftsfor-
schung), wo man aufgrund von Beobachtungen, die in irgendeiner Weise analog sind, auf eine Gesetzmäßigkeit schließt - doch kommt auch die Mathematik nicht ohne diese Verfahrensweise aus (siehe Kpt. 2.3).
Eine Form des plausiblen Schließens ist die Induktion (lat. \"Hinführung\"), die Beurteilung von Sachverhalten durch empirische (mit den Sinnen wahrnehmbare) Gründe. Durch Induktion begründete Aussagen bergen meistens eine hohe Wahrscheinlichkeit in sich. Ihnen kann aber keine vollständige Gewissheit zukommen, da sie nicht eindeutig bewiesen sind.
Ein anschauliches Beispiel ist die lange als gültig angesehene Hypothese \"Alle Schwäne sind weiß\", die durch Induktionsschluss entstanden war. Zahllose selbstständige Beobachtungen unterstützten und bekräftigten diese These, bis in Australien schwarze Schwäne entdeckt wurden und somit sämtliche Einzelfakten, die für die These sprachen, auf einen Schlag bedeutungslos wurden.
Grob gesagt kann man die Induktion als Schluss vom Besonderen auf das Allgemeine bezeichnen, ein Gegensatz der Deduktion.
2.3 Methode der Mathematik
In der Mathematik werden beide Verfahren benötigt, obwohl ja eigentlich nur das demonstrative Schließen für diese Wissenschaft der \"klassischen Anwendung rein deduktiver Methoden\" legitim klingt. Doch lassen sich mit lediglich dieser Arbeitsweise keine wesentlich neuen Erkenntnisse der Umwelt erschließen; hierzu ist die Induktion nötig. Man erhält durch sie zu einer neuen Erkenntnis eine Lösung, die zu einer hohen Wahrscheinlichkeit richtig ist. Später wird der mathematische Satz erst deduktiv bewiesen.
\"Das Resultat der schöpferischen Tätigkeit des Mathematikers ist demonstratives Schließen, ist ein Beweis; aber entdeckt wird der Beweis durch plausibles Schließen, durch Erraten.\"
Die Auseinandersetzung über die Gültigkeit des jeweiligen Verfahrens ist ein Problem in der Theorie der Logik unter kritisch rationalistischen Gesichtspunkten und soll hier nicht genauer untersucht werden.
[Quellen:(1) Brockhaus Multimedial
Kpt.2 (2) Pólya, G. Mathematik und plausibles Schließen, Band1, S.17]
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