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Integralrechnung 1. Einführung Die Integralrechnung ermöglicht die Berechnung von Flächen. Dies geschieht, indem die Fläche zwischen der x-Achse, einer Funktion f(x) und den Ordinaten a und b ermittelt. Bei Fragestellungen in der Wissenschaft und im täglichen Leben kann die Integralrechnung helfen, z.B. Vorhersagen zu treffen oder Tendenzen von Funktionen aufzuzeigen.
Mathematisch steht dahinter das Grundproblem der Analysis: "Aus dem Funktionswert f(xο) einer Funktion f an einer Stelle xο und der zusätzlichen Kenntnis, dass f(x) "beim Durchgang durch die Stelle xο " zu- bzw. abnimmt, sucht man Auskunft zu erhalten über f(x) für x ¹ xο. Diese Auskunft fällt um so präziser aus, je zutreffender man das Änderungsverhalten von f an der Stelle xο berücksichtigt" Die Flächenberechnung ist bei einer linearen Funktion einfacher als bei einer Parabel oder Exponentialfunktion 2. Berechnung von rechteckigen Flächen unter linearen Gleichungen und Parabeln Um die größtmögliche rechteckige Fläche unter einer Geraden oder einer Parabel auszurechnen, bestimmt man zunächst die Flächenformel. Sie ist das Produkt aus einem x-Wert a (Wert auf der x-Achse von Null bis a) und dem dazugehörigen Wert der Randfunktion r(a). Durch Nullsetzen der ersten Ableitung kann der x-Wert berechnet werden, für den die Fläche den größten Wert hat.
Durch Einsetzen dieses x-Wertes in die Flächenformel berechnet man die Größe der Fläche, die unter der Randfunktion den größten Wert hat. 3. Flächenberechnung unter linearen Gleichungen und Parabeln Die Fläche unter einer linearen Gleichung (Randfunktion) kann man mit der Trapezformel h·(a+c)/2 ausrechnen. Dazu wird für a der Wert der Randfunktion bei 0 bzw. für c der Wert der Randfunktion bei x = h eingesetzt. Mit der so ermittelten allgemeinen Flächenfunktion für eine lineare Randfunktion kann z.
B. berechnet werden, wie breit ein Trapez sein muss, das ein bestimmte Größe haben soll, oder für welchen x-Wert das Trapez die größte Fläche hat. Für die Berechnung einer Fläche unter einer Parabel, kann diese Formel nicht angewendet werden. Hier bedient man sich eines Verfahrens, bei dem durch Annäherung von sogenannten Ober- und Untersummen die Fläche unter der Parabel berechnet wird. Man unterteilt dazu die Fläche in Streifen der Breite b/n und für jeden Streifen die Ober- und Untersumme aus. Die Addition der einzelnen Summe ergibt genäherte die gesuchte Fläche.
Zunächst wird wieder die Formel der Randfunktion ermittelt und es werden die Grenzen für die Flächenberechnung festgelegt (z.B. a = 0 bis b = 1). Um die Fläche für n-Streifen auszurechnen, unterteilt man zunächst die Strecke auf der x-Achse in b/n Streifen, d.h. die Breite eines Streifens auf der x-Achse ist b/n.
Die einzelnen Strecken auf der f(x)-Achse lauten im Falle einer Parabel f(x) = x² für die Obersumme (b/n)², (2·b/n)², (3·b/n)², ... bis (n·b/n)². Die Addition der so gewonnenen einzelnen Fläche der Streifen ergibt die genäherte Fläche als Obersumme. Wenn n gegen ∞ geht, ergibt sich der Grenzwert der Obersumme.
In der gleichen Weise kann man die Untersumme berechnen. Die Streifenbreite beträgt wieder b/n; die jeweiligen Streifenhöhen lauten (0.b/n)², (b/n)², (2·b/n)², (3·b/n)², ... bis ((n-1)·b/n)². Der daraus bestimmte Grenzwert ist identisch mit dem Grenzwert der Obersumme.
Den gemeinsamen Grenzwert von Ober- und Untersumme bezeichnet man als die Fläche unter der Randfunktion r(x) in den Grenzen a=0 bis b. Allgemein kann man die Fläche eines beliebigen Streifens a bis b unter einer Randfunktion berechnen, indem man die jeweiligen Flächen A(a) und A(b) voneinander subtrahiert.
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