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Obwohl Saccheri glaubte beweisen zu können, daß die Winkel im Saccheri-Viereck nicht stumpf sein können, gelang es Riemann eine Geometrie zu schaffen, in der auch dieser Fall eintritt.
Um die Arbeit Riemanns zu verstehen, ist es notwendig, ein wenig auf die allgemeine Flächentheorie von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) einzugehen. Er entwickelte eine Methode mit der man Berechnungen auf gekrümmten Flächen anstellen konnte.
Ein Punkt auf dieser Fläche wurde dabei nicht mehr in einem räumlichen Koordinatensystem (x,y,z) angegeben, sondern er führte gekrümmte Koordinatenachsen auf der Fläche ein. Also konnte man jetzt Parametergleichungen für x,y,z angeben in denen x,y,z von den Parametern p und q abhängen. Jeder Punkt (x,y,z) auf der Fläche kann also durch das Wertepaar (p,q) ausgedrückt werden.
Um nun die Entfernung zweier Punkte auf dieser Fläche zu berechnen führte Gauß den Punkt (x+dx , y+dy , z+dz) ein, der unendlich nahe bei (x,y,z) liegt. Für die Entfernung der beiden Punkte muß gelten: ds2 = dx2 + dy2 + dz2. Werden x,y,z durch p und q ersetzt ergibt sich die folgende Formel:
ds2 = Edp2 + Fdpdq + Gdq2 (wobei E, F und G Funktionen von p und q sind)
Die geometrischen Eigenschaften der Fläche hängen nicht von den Funktionen E,F und G ab, sondern nur von ds. Man kann also aus einem Linienelement ds alle Eigenschaften der Fläche ableiten.
Riemann führte die Gedanken von Gauß fort. Er entwickelte die Gauß'sche Formel für ds weiter, so daß sie nun im n-dimensionalen Raum anwendbar war, und beschäftigte sich mit Mannigfaltigkeiten mit konstanter Krümmung.
Es läßt sich zeigen, daß die euklidische Geometrie der auf einer Fläche mit der konstanten Krümmung Null entspricht, die Lobatschewskijsche der auf einer Fläche mit konstanter negativer Krümmung. Beide sind somit Sonderfälle der Riemannschen Geometrie.
Letztere erlaubt weiters Berechnungen auf Flachen mit positiver Krümmung. Ein Beispiel für eine solche Fläche ist die Kugeloberfläche. Ein Punkt wird als Paar von Diametralpunkten aufgefaßt, eine Gerade als Großkreis. Es gibt keine parallelen Geraden, da sich die Großkreise immer in diametral gegenüberliegenden Punkten treffen.
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