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ABSTAND EBENE - EBENE
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E: Ax + By + Cz D = 0 F: Ax + By + Cz E = 0
Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt
Länge des Normalenvektors bestimmen [ A^2 +B^2 + C^3 ]
E D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors
Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen
ABSTAND PUNKT - EBENE
(Möglichkeit 1)
Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist dann parallel zur Ebene E)
Normalenvektor verknüpft mit x minus Normalenvektor verknüpft mit Punkt
n o x n o p
Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden berechnen (sh. oben)
Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene
(Möglichkeit 2)
Hesse'sche Normalenform aufstellen
Dazu Länge des Normalenvektors berechnen
1 / L ( n ) * [( n ) o x D] = 0
Punkt für x einsetzen
Ergebnis = Abstand Punkt Ebene
ABSTAND GERADE - EBENE
Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine Ebenengleichung aufstellen
n o x n o p
Abstand der beiden Ebenen bestimmen
Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene
ABSTAND PUNKT - GERADE
Der Richtungsvektor der Geraden wird als Normalenvektor betrachtet, um eine Ebenengleichung aufstellen zu können (Also Ebene aus Richtungsvektor und Punkt aufspannen)
n o x n o p
Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen
Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen
Einsetzen in die Ebenengleichung
Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene
Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden ( s - p )
Länge des Vektors berechnen
Ergebnis = Abstand Punkt - Gerade
ABSTAND GERADE - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden! )
Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2 (oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)
Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)
weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade
ABSTAND ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN
Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen
n o u1 = 0 n o u2 =0
Durch Additionsverfahren n bestimmen (beliebigen Wert für ein n einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)
Ergebnis = Normalenvektor
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1 Ebenengleichung aufstellen
Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2 Ebenengleichnug aufstellen
Abstand der beiden Ebenen berechnen
Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen Geraden
ABSTAND EBENE - URSPRUNG
D durch die Länge des Normalenvektors teilen
Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung
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