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Die Differentialrechnung war ursprünglich aus dem Problem erwachsen, die Tangente in einem beliebigen Punkt einer Funktionskurve zu berechnen. Die Integralrechnung hat ihren historischen Ursprung in der Berechnung von Flächeninhalten; die Größe der Fläche, die durch eine vorgehende Kurve begrenzt wird, sollte erfasst werden.
Das Tangentenproblem der Differentialrechnung und die Berechnung von Flächeninhalten erscheinen auf den ersten Blick als sehr unterschiedliche Aufgabenstellungen. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass zwischen den hier zugrunde liegenden Lösungsmethoden enge Beziehungen bestehen. Die folgende Betrachtung soll diese Beziehungen etwas näher erläutern.
In der folgenden Abbildung ist y = f(x) eine vorgegebene Funktion; ihr Graph begrenzt zusammen mit der x-Achse und zwei Randstrecken ein Flächenstück A. Die Berechnung der Flächengröße von A besteht im wesentlichen in der Bestimmung einer Funktion g(x),
für deren Ableitung gilt: g\'(x) = f(x).
Durch die zuletzt genannte Problemstellung wird die eigentliche Hauptaufgabe der Intergralrechung gekennzeichnet:
Zu einer vorgegebenen Funktion f(x) ist eine weitere Funktion g(x) zu ermitteln, deren Ableitung g\'(x) mit f(x) übereinstimmt.
g\'(x) = f(x)
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Diese gesuchte Funktion heißt Stammfunktion von f(x). Die Berechnung des Integrals von f(x) bezeichnet man als Integration. Die Integration einer Funktion f(x) ist die Umkehrung der Differentiation; eine zuvor durchgeführte Ableitung einer Funktion kann durch eine anschließende Integration (\"Aufleitung\") wieder rückgängig gemacht werden.
In der bereits dargestellten Hauptaufgabe ist die vorgegebene Funktion f(x) von allgemeiner Art, also insbesondere unabhängig von dem anfangs betrachteten Flächenproblem.
Es gibt heute sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in den innermathematischen Gebieten (z.B. Geometrie). Auch in der modernen Physik und in technischen Wissenschaften ist die Integralrechnung eine unverzichtbare Grundlage geworden.
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