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Die Kugelpackungen Durch die Koordinaten der Bausteine innerhalb einer Elementarzelle wird die Kristallstruktur beschrieben. Ein Steinsalzkristall (NaCl) besteht aus gleich vielen Natriumionen wie Chlorionen, somit haben sie ein Mengenverhältnis von 1:1. Jede Ionensorte besetzt für sich die Positionen eines kubisch flächenzentrierten Gitters. Jedes Natriumion hat als nächste Nachbarn sechs Chlorionen in gleichem Abstand und somit auch jedes Chlorion sechs Natriumionen. Die Anzahl der nächsten Nachbarn eines Kristallbausteins wird als seine Koordinationszahl bezeichnet. Würden wir nun die Mittelpunkte der Nachbarionen durch Geraden verbinden würde ein Polyeder entstehen - das so genannte Koordinationspolyeder. In unseren Beispiel der NaCl-Struktur würde dich ein Oktaeder bilden, dessen Mittelpunkt immer das andere Ion einnimmt. Daher spricht man in diesem Fall von einer oktaedrischen Koordination. Bei NaCl haben beide Stoffe die selbe Struktur des Oktaeders, was jedoch nicht zwingend ist. Abb. 12 Das NaCl-Gitter Das nicht beide Stoffe die gleiche Form haben müssen, zeigt das Beispiel der NiAs-Struktur. Beide Ionenarten haben verschiedene Koordinationspolyeder. Abb. 13 Das NiAs-Gitter Am besten kann man sich die Struktur vorstellen, wenn man sich die Bausteine als starre Kugeln vorstellt, zwischen denen ungerichtete Anziehungskräfte existieren und das sich diese Kugeln dadurch möglichst eng aneinander lagern. Diese Vorstellungsweise vereinfach es geometrisch über ihren Aufbau zu diskutieren, da sich die Frage stellt, welche die Struktur nun die dichteste Kugelpackung aufweist. Dazu gibt es drei verschiedene Fälle: 1. Die hexagonal- dichteste Kugelpackung 2.
Die kubisch- dichteste Kugelpackung In der hexagonal - dichteste Kugelpackung liegen alle Atome der ersten Lage (A) nebeneinander, wobei die der Lage B in der Lücken der A-Atome liegen. Die darauf folgenden Atome wieder in den Lücken der B-Atome liegen. Somit ergibt sich eine ABABABAB...-Struktur. Jedes Atom berührt zwölf andere Atome. Drei aus der oberen Schicht, drei aus der unteren Schicht und jeweils sechs Bausteine die um das Atom herum liegen. Die Koordinationszahl dieser Kugelpackung hat daher den Wert zwölf. Abb. 14 Hexagonale Kugelpackung Die kubisch -dichteste Kugelpackung hat die Reihenfolge ABCABC... (oder ACBACB...). Sie ist im Grunde genauso aufgebaut wie die hexagonale Kugelpackung, unterscheidet sich aber dadurch, dass sie über drei Ebenen verfügt. Die Koordinationszahl beträgt eben falls zwölf, da wieder sechs Nachbarionen vorhaben sind und drei aus der oberen und unteren Schicht die das andere Ion berührt. Abb. 15 Kubische Kugelpackung In beiden Fällen beträgt die Packungsdichte P=0,74, d.h. 74% des Volumens werden mit Kugeln ausgefüllt, damit ist 26% leerer Raum. Dies lässt sich einfach an der kubisch - dichtesten Elementarzelle herleiten. Das Volumen beträgt: V= a3 Die Größe der Diagonale des Würfels ist: a*(2)1/2 und entspricht dem vierfachen Radius r eines Teilchens. Daraus folgt: r = a/4 · (2)1/2 Das Volumen einer Kugel beträgt: V = 4/3*(Zahl Pi)*r3 Daraus ergibt sich das Volumen aller Kugeln: VGesamt = 4*4/3*(Zahl Pi)*(a/4 (2)1/2)3 = 0,74*a3 Auch wenn beide Kugelpackung fast gleich sind, unterscheiden sie sich in der Gestalt und der Symmetrie der Koordinationspolyeder. Denn bei der kubisch dichtesten Kugelpackung beträgt die Symmetrie m3m und beim hexagonal dichtesten 6m2. Trotzdem bestehen beide Koordinationspolyeder aus acht gleichseitigen Dreiecken und sechs Quadraten , jedoch sind die anders angeordnet und resultieren aus einer Kombination von zwei unterschiedlich steil stehenden trigonalen Dipyramiden und einem Basispinakoid. Abb. 16 Bei den dichtesten Kugelpackungen ist ungefähr ein Viertel (26%) hohler Raum. Diese Hohlräume können je nach Art und Größe mit kleinern Kugeln besetzt werden. Auf diese Weise lassen sich aus einfachen Kugelpackungen viele weitere Kristallstrukturen ableiten, indem die Lücken in bestimmter Weise mit andern Atomen ( Ionen) besetzt werden. Dabei muss man beachten, dass es verschiedene Arten von Lücken gibt.
Bei der kubisch flächenzentrierten Kugelpackung liegt ein sehr großer Hohlraum vor, der von 6 umliegenden Ionen eingeschlossen wird. Diese Lücken hat deshalb die Koordination [6] und man bezeichnet sie als oktaedrische Lücke. Solche Lücken befinden dich zudem noch in den Kantenmitten der Elementarzelle. Somit gibt es vier oktaedrische Lücken, da für jede Kugel eine Lücke existiert. Bei der hexagonalen dichtesten Packung existieren ebenfalls für eine Kugel eine Lücke, was auch für das kubische dichteste Gitter gilt. Eine andere Art der Lücke, ist wenn in der kubisch flächenzentrierten Kugelpackung die Lücken in der Mitte der "Achtelwürfel" sind und von jeweils vier Kugeln ( Liganden ) umgeben sind. Diese haben die Koordinaten [4]. Da die Liganden die Ecken eines Tetraeders besetzen, bezeichnet man sie als tetraedrische Lücken. In dieser Elementarzelle gibt es acht dieser Lücken. In diesem Beispiel und in dem der dichtesten Kugelpackungen sind immer zwei solcher Lücken pro Kugel vorhanden. Dennoch haben sie nicht die selbe Position. In der kubisch flächenzentrierten Kugelpackung sind die Tetraeder über alle vier Kanten miteinander verbunden, in der hexagonal dichtesten Packung jedoch über eine Fläche und eine Ecke. Abb. 17 Sollen nun in die Lücken einer Kugelpackung zusätzlich andere kleinere Kugeln eingebaut werde, dann dürfen diese natürlich eine gewisse Größe relativ zu den "großen" Kugeln nicht überschreiten, um in die Lücken hineinzupassen.
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