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Humboldtschule Hannover Schuljahr 2003/2004 Katharina Spann Facharbeit im Leistungskurs Mathematik Hyperbolische Funktionen - ein Plädoyer für mehr Beachtung "funktionaler Exoten" Fachlehrkraft: Herr Schönbach Ausgabetermin des Themas: 13. Februar 2004 Abgabetermin: 26. März 2004 Bewertung: Punkte ___________________________ _______________________________ Unterschrift der Fachlehrkraft Unterschrift der Schülerin/des Schülers Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Funktionsgleichungen 3 Exponentialfunktionen 4 Entstehung der Graphen Cosinus hyperbolicus 5 Sinus hyperbolicus 7 Tangens hyperbolicus 8 Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis 9 der hyperbolischen Funktionen an der Einheitshyperbel 10 Zusammenhänge 11 Ableitungen 12 Umkehrbarkeit 13 Anwendung/Bedeutung 15 Schlusswort 16 Literaturverzeichnis 17 Schülererklärung 18 Einleitung Hyperbolische Funktionen (auch Hyperbelfunktionen genannt) sind vielseitige und faszinierende Funktionen, obwohl sie relativ unbekannt sind. Sie besitzen aber nicht nur einen theoretischen Wert, sondern werden auch in der Praxis oft benutzt, vor allem in der Architektur. Es werden im Folgenden hauptsächlich drei der Hyperbelfunktionen erörtert: der Sinus hyperbolicus, der Cosinus hyperbolicus und der Tangens hyperbolicus (Kurzschreibweise: sinh x, cosh x, tanh x). Auf den Cotangens hyperbolicus wird nicht weiter eingegangen, da er nicht so viel Bedeutung hat und einfach nur die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus ist.
Wie man schon am Namen erkennen kann, bestehen zwischen diesen Funktionen und den trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens) Analogien. Den Zusatz "hyperbolicus" im Namen haben die hyperbolischen Funktionen wegen ihrer Definition an der Einheitshyperbel (siehe Definition) bekommen. Ich werde mich zuerst mit den Funktionsgleichungen und den Graphen beschäftigen, dann auf die Definition mit Bezug auf die Analogien zu den trigonometrischen Funktionen eingehen und schließlich die Ableitungen, die Umkehrbarkeit und die Anwendung der Hyperbelfunktionen behandeln. Funktionsgleichungen Die Funktionsgleichungen der hyperbolischen Funktionen lauten folgendermaßen: Wie man sieht, setzen sie sich aus den Exponentialfunktionen f(x)=ex und g(x)=e -x zusammen. Exponentialfunktionen Die oben genannten Funktionen sind natürliche Exponentialfunktionen und werden auch Wachstumsfunktionen genannt. Sie werden benutzt, um Wachstum vor allem bei Naturprozessen, Zinsberechnung oder Zerfall (wie z.
B. radioaktiven Zerfall) zu beschreiben. Die nach Leonhard Euler (1707-1783) benannte transzendente Zahl e (e = 2,7182...) ist die Basis der natürlichen Logarithmen ("eine Zahl ist transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades mit ganzzahligem Koeffizienten auftritt" ).
Die e-Funktion f(x) = ex bleibt beim Differenzieren und Integrieren unverändert. Beide Funktionen haben den Ordinatenabschnitt bei 1 und die x-Achse als Asymptote. Im Punkt (0/1) hat die Funktion die Steigung 1 bzw. -1. Die Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=ln x. Entstehung der Funktionsgraphen Cosinus hyperbolicus Am Beispiel des Cosinus hyperbolicus wird hier genauer erläutert, wie sich die Funktionsgraphen der hyperbolischen Funktionen entwickeln lassen.
Der Cosinus hyperbolicus besteht aus der Summe der Funktionswerte der Exponentialfunktionen f(x) = e x und g(x) = e -x. Schließlich wird der Graph noch mit ½ gestreckt. In der obigen Abbildung sind in Rot und Blau die beiden Exponentialfunktionen dargestellt. Nun werden die Funktionswerte der beiden Funktionen an jeder Stelle addiert: Es entsteht der Graph von h(x) = ex + e -x (in Grün). Da die Funktionswerte der Exponentialfunktionen auf der jeweils einen Seite (für g(x) gegen + und für f(x) gegen - ) immer kleiner werden, nähert sich Gh immer mehr an Gg und Gf an (an Gf im ersten Quadranten und an Gg im zweiten Quadranten). Also sind die beiden Exponentialfunktionen Asymptoten für h(x).
Jetzt ist h(x) aber nicht die endgültige Cosinus-hyperbolicus- Funktion. Sie wird noch mit ½ gestreckt. Die Funktion k(x) = cosh x hat ihren Tiefpunkt bei P(0/1) wie die Exponentialfunktionen f(x) und g(x). Die Asymptoten für k(x) sind jetzt m(x) = ½ e x und n(x) = ½ e - x. Gk nähert sich sehr schnell den Asymptoten an, und ab x = 5 haben die Funktionswerte von k(x) und der dazugehörigen Asymptote bis auf zwei Dezimalstellen den gleichen Wert. Der Cosinus hyperbolicus ist eine gerade Funktion, da cosh x = cosh (-x).
Sinus hyperbolicus Genau wie beim Cosinus hyperbolicus die zwei Exponentialfunktionen addiert werden, so werden sie beim Sinus hyperbolicus subtrahiert (f[x] - g[x]) (grüner Graph). Schließlich wird der Graph genau wie beim Cosinus hyperbolicus nur noch mit ½ gestreckt. Hier sind jetzt u(x) = ½ ex und v(x) = - ½ e -x Asymptoten. Durch die Addition der Exponentialfunktionen verläuft der Funktionsgraph des Cosinus hyperbolicus über den Asymptoten und liegt sozusagen "innen", während er beim Sinus hyperbolicus außen an den Asymptoten entlangläuft. Also liegt der Graph von Cosinus hyperbolicus im ersten Quadranten innen in der Sinus-hyperbolicus-Kurve (siehe auch Bild unten). Der Sinus hyperbolicus ist eine ungerade Funktion, da sinh x = - sinh(-x) und er symmetrisch zum Ursprung ist.
Tangens hyperbolicus Genau wie bei den trigonometrischen Funktionen der Tangens auch als definiert ist, so ist der Tangens hyperbolicus ebenfalls , also . Der Tangens hyperbolicus hat im Ursprung seinen Wendepunkt. Weil die Funktionswerte von Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus im ersten Quadranten sich immer ähnlicher werden (im dritten Quadranten geschieht das Gleiche mit den Beträgen der Funktionswerte), gilt: . Also hat die Funktion Tangens hyperbolicus Asymptoten bei y=1 und y= -1. Definition Bei der Definition der hyperbolischen Funktionen tauchen die meisten Ähnlichkeiten mit den trigonometrischen Funktionen auf. Genau wie man die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis definieren kann, so kann man auch die hyperbolischen Funktionen an der so genannten "Einheitshyperbel" definieren.
Die Einheitshyperbel ist eine gleichseitige Hyperbel und besitzt die Gleichung x2 - y2 = 1. Sie schneidet die Abszisse bei x=±1, und die Winkelhalbierenden bilden Asymptoten. Auch bei der Funktionsgleichung der Einheitshyperbel wird die Verwandtschaft zu den trigonometrischen Funktionen deutlicher, der Einheitskreis besitzt eine ganz ähnliche Gleichung, nämlich x2 + y2 = 1. Die Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Man wählt einen laufenden Punkt P auf dem Einheitskreis aus (hier wird nur der erste Quadrant betrachtet). Die trigonometrischen Funktionen sind an einem allgemeinen Dreieck bekannterweise folgendermaßen definiert: Der Sinus ist im Dreieck OPPo die Gegenkathete (da die Hypothenuse der Radius des Einheitskreises und somit gleich 1 ist), der Cosinus ist die Ankathete. Der Tangens ist die Strecke , die auch die Tangente zum Einheitskreis an der Stelle x = 1 ist.
Der Punkt P hat also laut Definition die Koordinaten P(cos x/sin x). Definition der hyperbolischen Funktionen an der Einheitshyperbel Auch an der Einheitshyperbel wird ein laufender Punkt P ausge-wählt. Alle Funktionen sind hier an ähnlicher Stelle definiert wie ihre entsprechenden Gegenstücke der trigonometrischen Funktionen. Auf der Einheits-hyperbel sind die Koordinaten des Punktes P(cosh x/sinh x). Der Tangens ist auch hier und die Tangente zu der Einheitshyperbel an der Stelle x = 1. An der Einheitshyperbel kann man auch einsehen, dass der hyperbolische Tangens als Quotient von Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus definiert ist: Nach dem 2.
Strahlensatz ist , also ist . Der Parameter x der hyperbolischen Funktionen ist nicht wie bei den trigonometrischen Funktionen der Winkel im Dreieck oder das Bogenmaß am Einheitskreis, sondern er steht im Zusammenhang mit einer Fläche. Die schraffierte Fläche (siehe oben), begrenzt von der Geraden , der Einheitshyperbel und der x-Achse, ist genau die Hälfte des dazugehörigen Parameters. Für Punkte im vierten Quadranten wird x0. Außerdem darf der Logarithmus definitionsgemäß kein negatives Argument haben. Nach demselben Muster kann man auch den Cosinus hyperbolicus umkehren.
Das Ergebnis: Die Funktionsgraphen entstehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden und sehen folgendermaßen aus: Cosinus hyperbolicus und Area Cosinus hyperbolicus Sinus hyperbolicus und Area Sinus hyperbolicus Anwendung/Bedeutung Anwendung/Bedeutung Die hyperbolischen Funktionen, insbesondere die Cosinus-hyperbolicus-Funktion, haben auch eine anschauliche und praktische Bedeutung. Die Cosinus-hyperbolicus-Kurve wird auch Kettenlinie oder Seilkurve genannt. Wenn man zum Beispiel ein Seil, das nur durch sein Eigengewicht belastet wird, an zwei symmetrisch zur y-Achse liegenden Punkten aufhängt, so beschreibt das Seil den Verlauf dieser Kettenlinie oder Seilkurve. Die Ableitung der Cosinus- hyperbolicus-Funktion, die Sinus hyperbolicus, beschreibt dann die Steigung dieser Seilkurve. Diese Kurven sind auch für die Konstruktion von Hochspannungs-masten von entscheidender Bedeutung. In der Architektur finden diese Kurven ebenfalls Gebrauch.
Die Träger mehrerer Donaubrücken und auch zum Beispiel die Stahlseile der Golden Gate Bridge in San Francisco (siehe Abbildung 1) bilden eine Seilkurve. Es kann aber auch ein frei stehender Bogen sein, wie der Gateway Arch in St. Louis (Abbildung 2). Die "umgedrehte" Seilkurve wird dort wegen der großen Stabilität verwendet. Aber diese Konstruktionen werden nicht erst seit ein paar Jahren benutzt, sondern wurden schon in der Antike von den Griechen für den Bau von Tempelsäulen verwendet. Die Gleichung der Kettenlinie war natürlich zu dieser Zeit noch nicht bekannt, man imitierte aber die Form eines durchhängenden Seiles.
Eine lange Zeit lang wurde auch vermutet, dass die Gleichung einer Seilkurve eine Parabel sei (z.B. Galileo Galilei vertrat diese Ansicht). 1691 eröffnete der berühmte Mathematiker Jacob Bernoulli einen Wettbewerb, um die Gleichung dieser Linie herauszufinden. Daraufhin entdeckten die Mathematiker Huygens, Leibniz und Johann Bernoulli unabhängig voneinander die Funktionsgleichung des Cosinus hyperbolicus. Schlussbetrachtung Ich habe mich in dieser Facharbeit mit den hyperbolischen Funktionen auseinander gesetzt, um zu zeigen, dass sie durchaus interessante und praktische Funktionen sind, die eigentlich mehr Beachtung verdienen.
Dass sie nicht unwichtig sind, beweist schon die Tatsache, dass sie einen eigenen Namen bekommen haben. Sie finden Anwendung in der Praxis und sind auch theoretisch betrachtet durch ihre Analogien mit den trigonometrischen Funktionen, der Entstehung aus den Exponentialfunktionen, der Regelmäßigkeit ihrer Ableitungen und ihrer Definition an der Einheitshyperbel recht attraktiv. Literaturverzeichnis Bronstein, I.N; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik.
Verlag Nauka, Moskau und B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981 Gellert, W. und andere: Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1974 Gobold, Thomas A.: Hyperbelfunktionen.
https://www.mathe-online.at/materialien/Thomas/files/hyperbel.html, 2003 Hempel, T.: Mathematische Grundlagen, Hyperbolische Funktionen. https://www.
uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/ hyperbelfunktion.pdf Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1. B.G. Teubner Stuttgart,1993 Horn, Holger: Eine Drehung der Einheitshyperbel und Hyperbelfunktionen.
https://sites.inka.de/picasso/TeXHP/hyp/Hyperbel.pdf, 2003 Leupold, Wilhelm und andere: Analysis für Ingenieure. Verlag Harri Deutsch, 1981 Meyberg, Kurt und Vachenauer, Peter: Höhere Mathematik 1. Springer Verlag, 1990 Net-Lexikon: Definition einer transzendenten Zahl.
https://www.net-lexikon.de/Transzendente-Zahl.html University of St. Andrews, Scotland: Catenary. https://www-history.
mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Catenary.html Schülererklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Facharbeit selbstständig angefertigt, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt und die Stellen der Facharbeit, die im Wortlaut oder im wesentlichen Inhalt aus anderen Werken entnommen wurden, mit genauer
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