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Lösen einer Extremwertaufgabe Grundlagen: 1. Die Funktion f sei in einem Intervall I definiert. Der Funktionswert f(x0) heißt lokales Maximum [bzw. Minimum] von f, wenn es eine Umgebung U(x0) Í I gibt, sodass für alle Werte x aus U(x0) gilt: f(x) £ f(x0) [bzw. f(x) ³ f(x0)]. Gilt f(x) £ f(x0) [bzw.
f(x) ³ f(x0)] sogar für alle x Î I, so nennt man f(x0) globales Maximum [bzw. globales Minimum] von f in I. 2. Satz vom Maximum/Minimum: Ist die Funktion f im abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig, so nimmt f im Intervall oder an den Intervallgrenzen einen größten und auch einen kleinsten Wert an (globales Maximum und globales Minimum). 3. Ist f im offenen Intervall ]a; b[ zweimal differenzierbar und gelten an der Stelle x0 Î ]a; b[ die Bedingungen f \'(x0) = 0 und f \'\'(x0) < 0 [bzw.
f \'\'(x0) > 0], so ist f(x0) ein lokales Maximum [bzw. ein lokales Minimum]. 4. Vergleich zwischen relativen und absoluten Extremwerten a; b ...
Ränder des Intervalls Ix1; x2; x3; x4 ... innere Stellen des Intervalls If(x1); f(x3) ...
lokale Minimaf(x2); f(x4) ... lokale Maximaf(a) ...
Randmaximumf(b) ... Randminimumglobales Maximum in I: f(a)globales Minimum in I: f(x1) Hinweis: Den Nachweis, dass f(x4) ein lokales Maximum ist, kann man mithilfe von Monotoniebetrachtungen führen: An der Stelle x4 wechselt das Monotonieverhalten der Funktion f von monoton steigend zu monoton fallend. 5. Um die Extremwerte einer Funktion f im Intervall I zu ermitteln, untersucht man (1) alle Stellen, für die f'(x) = 0 gilt, und (2) alle Stellen, an denen f nicht differenzierbar ist, und (3) die Randstellen von I.
Lösungsschema für eine Extremwertaufgabe: 1. Ermitteln einer Zielfunktion · Ist eine Skizze hilfreich? Welche Stücke sind gegeben? · Welche Größe soll extremal werden? · Welche Variable eignet sich für die Zielfunktion? · Kann man Nebenbedingungen nutzen um die Anzahl der Variablen zu verringern? · Wie ist der Definitionsbereich zu wählen? 2. Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremwerte · Besitzt die Zielfunktion im betrachteten Definitionsbereich lokale Extrema? 3. Ermitteln des gesuchten globalen Extremwertes · Kommen die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches als globale Extremwerte in Frage? 4. Bezug des Ergebnisses zum Ausgangsproblem herstellen · Wie kann man das Ergebnis deuten? Ist die Lösung sinnvoll? · Beantwortung der ursprünglichen Fragestellung.
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