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In diesem Jahrhundert kam es zu mehreren "Katastrophen". Eine war die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien. Weiters die rasante Entwicklung der Analysis, die die geometrische Intuition überrundete, wie die Entdeckung von raumfüllenden Kurven, oder von stetigen nicht differenzierbaren Kurven. Diese harten Schläge für die geometrische Intuition, der einzigen soliden Grundlage der Mathematik, dieser Verlust von Gewissheit in der Geometrie war philosophisch nicht tragbar, denn damit war der Verlust jeder Gewissheit menschlicher Erkenntnis überhaupt verknüpft. Die Mathematiker, angeführt von Richard Dedekind (1831-1916) und Karl Weierstraß (1815-1897), stellten sich der Herausforderung, machten sich zur Aufgabe, die Mathematik auf ein neues Fundament zu stellen: die Arithmetik. Gleichberechtigt geworden, aber doch eher als praktische Kunst denn als Wissenschaft angesehen, war sie seit der frühen Neuzeit als nicht axiomatische, sondern "kalkulatorische" (rechnende) Disziplin.
Dedekind machte als erster den Versuch sie zu axiomatisieren.
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