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(Definition, Bedeutung, Erklärung im Lexikon)
Koordinatensysteme mit Polarkoordinaten geben einen Punkt mittels des Abstandes von einem festgelegten Koordinatenursprung sowie durch einen oder mehrere Winkel in Bezug zu einer ausgezeichneten Richtung an.
Bekannte Systeme, in denen Polarkoordinaten verwendet werden sind die Kreiskoordinaten in der Ebene sowie zylindrische und Kugelkoordinaten im Raum.
Kreiskoordinaten
Die Kreiskoordinaten eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (ein Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben.
Die Länge der gedachten Verbindungslinie eines Punktes P zum Ursprung gibt die r genannte Abstandskoordinate; der gegen den Urzeigersinn gemessene Winkel θ zwischen der gedachten Verbindungslinen und der Polarkoordinatenrichtung gibt die zweite Koordinate. Bei gegebenem Koordinatenursprung ist also der Punkt P durch r und θ eindeutig bestimmt.
Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergeben sich
x = r cos (&q) und (theta)
y = r sin (&q)
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen.
Zylindrische Koordinaten
Zylinderkoordinaten sind im Wesentlichen Kreiskoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.
Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich
x = r cos ( &q),
y = r sin (&q) und
z = h
als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z-Achse.
Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten sind durch den Abstand eines Punktes r (manchmal auch ρ) vom Koordinatenursprung sowie zwei Winkel, θ und φ, gegeben.
Die Definition der Winkel wird unterschiedlich gewählt. Der Winkel wird durch den Strahl, der vom Ursprung des Koordinatensystem zum Punkt und einer zu definierenden Ebene gegeben.
Beispielsweise sind die Winkel auf der Erde diejenigen zwischen Äquatorebene und dem Strahl (geographische Breite) sowie zwischen der durch Rotationsachse und den Meridian durch Greenwich gegebene Ebene mit dem Strahl (geographische Länge).
Bedeutung:
Koordinaten für Länge und Richtung des Ortsvektors in Bezug auf den Nullpunkt und die Bezugsrichtung. Ebene Polarkoordinaten bestehen aus der Länge r und dem Winkel j. Ihre Beziehungen zu den rechtwinkligen Koordinaten x,y lauten:
x = r cos j
y = r sin j
Räumliche Polarkoordinaten sind die Kugelkoordinaten.
Was sind nun aber Polarkoordinaten?
Betrachte die Grafik rechts. Stelle dir vor du sollst vom Ursprung aus zum Punkt mit den Koordinaten (x/y) laufen. Dann marschierst du x Längeneinheiten in Richtung der x-Achse und y Längeneinheiten in Richtung der y-Achse. Man könnte dir aber auch sagen, marschiere in einem Winkel von z.B. 30 Grad zur x-Achse r Längeneinheiten geradeaus. Man gibt also den Winkel an, den die Strecke r mit der x-Achse bildet und die Länge der Strecke r (r/deg). Ich habe hier die im Applet verwendete Schreibweise gewählt (deg ist die Abkürzung von \"degree\" und d.h. \"Grad\").
Ebene Polarkoordinaten
Anstelle der kartesischen Koordinaten x und y kann die Position eines Punktes auch charakterisiert werden durch seinen Abstand vom Ursprung (üblicherweise mit dem Buchstaben r bezeichnet) und die Richtung, in der er - vom Ursprung aus betrachtet - \"gesehen\" wird. Diese Richtung wird als Winkel zur positiven x-Achse (gemessen im Gegenuhrzeigersinn) festgelegt. Wir bezeichnen ihn mit dem griechischen Buchstaben f (phi), oft wird dafür auch j (andere Variante von phi) oder q (theta) verwendet. Er wird Polarwinkel genannt. Die Position jedes Punkt ist durch ein Paar (r, f) von Zahlen festgelegt. Dabei ist immer r ³ 0 und 0° £ f < 360°. (Beachten Sie: ein Winkel von 360° bedeutet dasselbe wie 0°).
Lediglich am Ursprung passiert ein kleines Malheur: Für ihn gilt r = 0, aber der Winkel f ist völlig unbestimmt. Alle anderen Punkte besitzen eindeutig bestimmte Werte von r und f, und umgekehrt legt jedes Paar (r, f), für das r > 0 und 0° £ f < 360° gilt, genau einen Punkt fest.
Diese Koordinaten heißen (ebene) Polarkoordinaten. Manche geometrischen Probleme lassen sich einfacher behandeln, wenn die Zeichenebene \"durch die Brille der Polarkoordinaten\" betrachtet wird. (Wenn Sie etwa für Ortsbestimmungen in der Arktis - von der Erdkrümmung einmal abgesehen - als Koordinaten den Abstand r vom Nordpol und die geographische Länge f verwenden, machen Sie nichts anderes). Jeder Punkt (ausgenommen der Ursprung) besitzt eindeutige Werte r und f der Polarkoordinaten. Daneben besitzt er auch eindeutige Werte x und y der kartesischen Koordinaten. Da sowohl im Paar (r, f) als auch im Paar (x, y) genau die notwendige Information über seine Position steckt, können kartesische und Polarkoordinaten ineinander umgerechnet werden. Die vollständige Berechnung erfordert Winkelfunktionen, wird daher auf ein späteres Kapitel verschoben. Wir wollen hier nur erwähnen, dass für jeden Punkt die Beziehung r2 = x2 + y2 gilt. Sie drückt den Pythagoreischen Lehrsatz für das in der folgenden Skizze hervorgehobene rechtwinkelige Dreieck aus:
Spezialfälle für Werte von Polarkoordinaten sind:
Für jeden Punkt am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist) gilt r = 1.
Für jeden Punkt auf der positiven x-Achse gilt f = 0°.
Für jeden Punkt auf der positiven y-Achse gilt f = 90°.
Für jeden Punkt auf der negativen x-Achse gilt f = 180°.
Für jeden Punkt auf der negativen y-Achse gilt f = 270°.
Kurven in Polarkoordinaten
Spiralen
Es gibt zwar keine allgemeine Definition einer Spirale, aber man könnte sie auf folgende Weise definieren:
Eine Spirale ist der Graph einer Funktion r = Rad(t) in Polarkoordinaten.
Das charakteristische Aussehen der meisten Spiralen ist also eher dem verwendeten Abbildungsverfahren, dem System der Polarkoordinaten nämlich, zuzuschreiben. Andererseits lassen sich manche \"typischen\" Spiralen, etwa die Klothoide, nicht recht bequem in Polarkoordinaten darstellen.
Vergleich: Polar- & kartesische Koordinaten
In diesem Zusammenhang ist es eine reizvolle Aufgabenstellung, durch einen bestimmten Funktionsterm f einmal eine Spirale durch r = Rad(t) = f(t) und einmal einen kartesischen Funktionsgraph durch y = f(x) festlegen zu lassen, und dann die erhaltenen Graphen zu vergleichen. Auch die üblicherweise untersuchten Besonderheiten haben in beiden Fällen eine ganz andere Bedeutung.
Term f(t) bzw. f(x)
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
f(t) = c
Kreis mit M=O, r = c
Parallele zur x-Achse
f(t) = k*t
Archimedische Spirale
Gerade durch O, Anstieg c
f(t) = sin(t)
Kreis, M(0/ ), r =
(Sinuskurve)
f(t) = Exp(t)
Logarithmische Spirale
(Exponentialkurve)
Graph
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Kreis M = O, r
Rad = r
x2 + y2 = r2
Gerade
Rad =
y = k*x + d
Asymptotisches Verhalten des Funktionstermes
Gegeben sei ein Term f, von dem ausgehend einmal ein Funktionsgraph in Polarkoordinaten durch Rad(t) = f(t) und dann in kartesischen Koordinaten durch y = f(x) konstruiert wird.
Ebenso wie bei den kartesischen Graphen spielt auch bei den Polarkoordinaten das asymptotische Verhalten des Termes f eine wichtige Rolle für die Gestalt des Graphen.
Besonderheit
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Der Nullpunkt ist Wickelpunkt
Die x-Achse ist Asymptote
Asymptotischer Kreis k...M=O, r
Asymptote y = r
Der Punkt Unendlich ist Wickelpunkt
(weitere Differenzierungen nötig)
Asymptote parallel zur Richtung u
Senkrechte Asymptote bei
x = u
Rad(t) = rad(t+p)
Der Graph ist eine Rosette (Winkel p)
Der Graph ist periodisch (Periode p)
c-Stellen, Nullstellen
Dem Aufsuchen aller c- Stellen, also der Lösung der Gleichung f(x) = c entspricht einmal die Bestimmung der Schnittpunkte des Graphen mit der x- Parallelen y = c, im Polarkoordinatensystem handelt es sich bei der Lösung der Gleichung f(t) = c um das Aufsuchen der Schnittpunkte mit dem Kreis k...M = O, r = c.
Nullstellen entsprechen einmal den Schnittpunkten mit der x-Achse, bei Polarkoordinaten Durchgängen durch O, so dass also ein Funktionsterm mit vielen Nullstellen einen blütenförmigen Polargraph ergeben wird (wenigstens dann, wenn keine Polstellen vorhanden sind).
Extremwerte, Stationäre Stellen
Stationäre Stellen, insbes. Extremwerte beim kartesischen Graph haben waagrechte Tangenten, ihnen entsprechen die Berührungspunkte mit Kreisen um O, dort hat also der Abstand des Graphen vom Nullpunkt einen stationären Wert oder Extremwert.
Polstellen
Sie ergeben beim kartesischen Funktionsgraph Asymptoten parallel zur y-Achse, beim Polargraph ebenfalls Asymptoten, allerdings in der zum betreffenden t-Wert (=Winkel) gehörenden Richtung.
Waagrechte Asymptoten, asymptotische Kreise
Sie werden beim kartesischen (Polar-) Graph erhalten, wenn bei unbeschränkt wachsendem x (t) sich ein bestimmter Grenzwert für y (Rad) einstellt. Ihnen entsprechen beim Polargraph asymptotische Kreise mit dem Mittelpunkt O, um die sich der Graph herumwindet, bzw. der asymptotische Punkt O, wenn der Grenzwert = 0 ist.
Variablentranformationen
Transformation
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
t ® t + c bzw.
x ® x + c
Drehung des Graphen um O um den Winkel c
Parallelverschiebung um den Vektor
t ® c * t bzw.
x ® c * x
Fächertransformation: die Winkel werden bei gleichem Radius mit multipliziert
Orthogonale perspektive Affinität, Achse: y, Faktor:
Änderungen des Funktionstermes
Änderung
Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Rad(t) ® Rad(t) + c
Übergang zu einer Konchoide der Ausgangskurve
Parallelverschiebung um den Vektor
Rad(t) ® c * Rad(t)
Zentrische Ähnlichkeit (Zentrum O) = Streckung/ Stauchung von O aus mit Faktor c
c= -1: Spiegelung an O
Orthogonale perspektive Affinität, Achse: x, Faktor c
c= -1: Spiegelung an x.
Paar entsprechender Punkte: etwa P1(0/1), P2(0/c)
Rad(t) =
Rad1(t) + Rad2 (t)
Die Summenspirale ist Kissoide ihrer beiden Summandenspiralen
Die Funktionsgraphen werden einfach addiert
Inversion am Einheitskreis (Kreis mit Radius c).
Paar entsprechender Punkte:
P1(t,r), P2(t / bzw. c2 )
Übergang zum Kehrwert der y-Werte. Paar entsprechender Punkte:
P1(x / y), P2(x / )
Kissoiden
Gegeben seien zwei Kurven c1: r = c1(t) und c2: r = c1(t). Die daraus abgeleitete Kurve c: r = r(t) = c1(t) - c2(t) nennt man Kissoide von c1 und c2.
Haben c1 und c2 n Schnittpunkte, so geht die Kissoide n-mal durch O und hat dort die Strahlen von O zu den Schnittpunkten als Tangenten.
Die Ordnung einer Kissoide ist gleich dem doppelten Produkt der Ordnungen von c1 und c2 (abzüglich gewisser Werte für gemeinsame Schnittpunkte im Unendlichen und gemeinsamer Durchgänge durch O).
Konchoiden
Sonderfall: c1 sei eine beliebige Kurve, c2 ein Kreis um O. Die dadurch erhaltene Kissoide nennt man eine Konchoide von c1.
Die Konchoiden einer Kurve erhält man also, indem man die Radiusvektoren um eine konstante Strecke (das Zwischenstück) vergrößert oder verkleinert.
Konchoide einer Geraden
Die am längsten bekannte ist die Konchoide des Nikomedes (zwischen -250 und -150). Ihre Gestalt soll an eine Muschel ( kogclh) erinnern. Je nach dem Größenverhältnis von c und dem Normalabstand der Geraden von O gibt es gespitzte, verschlungene und gestreckte Formen.
Konchoide eines Kreises
Interessant ist der Fall, wo der Kreis durch den Nullpunkt O geht. Man erhält dann die Pascalschnecken. Je nach dem Größenverhältnis von c und dem Kreisradius gibt es gespitzte, verschlungene und gestreckte Formen.
Sie sind kinematisch erzeugbar durch Abrollen eines Kreises auf einem halb so großen, wobei der feste Kreis umschlossen wird, also durch eine bestimmte Trochoidenbewegung.
Inversion
Sie ist eine quadratische Verwandtschaft, d.h. die Ordnung einer Kurve wird bei Inversion i.a. verdoppelt, was für zirkulare (= die absoluten Kreispunkte enthaltende) Kurven aber nicht gelten muss. Zu einem Urpunkt lässt sich der Bildpunkt leicht konstruieren: man schneidet seine Verbindungsgerade zum Kreismittelpunkt mit seiner Polaren. Um die im Kreismittelpunkt gestörte Ein-Eindeutigkeit zu erzwingen, schließt man wie in der Funktionentheorie die Ebene am besten durch einen Punkt Unendlich ab. Die Inversion ist winkeltreu, weiters wird die Menge aller Geraden und Kreise auf sich abgebildet.
Bezug zur Darstellenden Geometrie
Jede Spirale mit der Gleichung r = rad(t) ist Grundriss der Schnittkurve einer Wendelfläche mit der Achse z und einer Drehfläche, welche prinzipiell die Gleichung r = = rad(z) hat.
Umrechnung Polar-« kartesische Koordinatensystem
Die Umrechnung von kartesischen in Polarkoordinaten lautet:
Die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische lautet:
x = r * cos(t), y = r * sin(t)
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