|
1.1 Teiler und Vielfache einer Zahlbr />
Alle Teiler einer Zahl bilden eine Teilermenge.
Bsp.: Teilmenge von 50 {1,2,5,10,25,50} = T50
Alle Vielfachen einer Zahl bilden eine Vielfachenmenge.
Bsp.: Vielfachenmenge von 50 {50,100,150......} = V50
1.2 Teilbarkeitsgesetz (Summe und Produkt)
1.2.1 Summenregel
Haben 2 Zahlen den selben Teiler, so hat auch die Summe und die Differenz der Zahlen diesen Teiler
Bsp.: 36 / 720 und 36 / 144, also gilt
36 / (720+144) = 36 / 864 und 36 / (720-144) = 36 / 576
1.2.2 Produktregel
Ist bei einem Produkt mindestens ein Faktor durch eine bestimmte Zahl teilbar, so ist auch das Produkt durch diese Zahl teilbar.
Bsp.: 6 / 13 x 42, da 6 / 42
1.3 Endstellenregel
1.3.1 Regeln für die letzte Stelle:
· Endet eine Zahl auf 0, so ist diese Zahl durch 10, 5, 2 teilbar.
· Endet eine Zahl auf 5, so ist diese Zahl durch 5 teilbar.
· Endet eine Zahl auf 2, 4,6,8, (0), so ist diese Zahl durch 2 teilbar.
1.3.2 Regeln für die zwei letzten Stellen
· Endet eine Zahl auf 00, so ist die Zahl durch 100, 25, 20, 4 teilbar.
· Eine Zahl ist durch 4 oder 25 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 oder 25 teilbar ist.
1.3.3 Regeln für die drei letzten Stellen
· Endet eine Zahl auf 000, so ist diese Zahl durch 1000, 125, 8 teilbar.
· Eine Zahl ist durch 8 oder 125 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern gebildete Zahl durch 8 oder 125 teilbar ist.
Bsp.: 8 / 36144, da 8 / 144
1.4 Quersummenregel
Quersumme einer Zahl = Summe aller Ziffern.
Bsp.: 168 hat die Quersumme 1+6+8=15
Eine Zahl ist teilbar durch 3 bzw. 9 wenn die Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist.
Bsp.: 3 / 17385 da 3 / 24 (24=Quersumme); 9 teilt nicht 24
1.5 Primzahlen, Primfaktordarstellungen
Eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, nämlich die Zahl 1 und sich selbst, heißt Primzahl. Primzahlen kann man nicht als Produkt von kleineren Zahlen schreiben.
Bestimmung von Primzahlen mit dem Sieb des Eratostenes
· streiche alle Vielfachen von 2 außer 2
· streiche alle Vielfachen von 3 außer 3
· streiche alle Vielfachen von 5 außer 5
· streiche alle Vielfachen von 7 außer 7
Jede natürliche Zahl (größer als 1) ist entweder eine Primzahl oder lässt sich aus Primzahlen durch Multiplikation herstellen. Das Produkt nennt man Primfaktordarstellung der Zahl. Die Primfaktoren sind eindeutig bestimmt.
Bsp.: 58 = 2 x 29.
Ist eine natürliche Zahl keine Primzahl, so gibt es für diese Zahl nur eine Primfaktordarstellung.
1.6 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Bildet man die Teilermenge zweier Zahlen und ihre Schnittmenge, so ist die Schnittmenge wieder eine Teilermenge und zwar die Teilermenge des größten gemeinsamen Teilers (ggT).
Bsp.: T56 = {1, 56, 2, 28, 4, 14, 7, 8}
T84 = {1, 84, 2, 42, 3, 28, 4, 21, 7, 12, 6, 14}
T56 Ç T84 = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
ggT = 28
Man erhält den ggT indem man die gemeinsamen Primfaktoren aufschreibt und miteinander multipliziert.
Bsp.: 56 = 2 x 2 x 2 x 7
84 = 2 x 2 x 3 x 7
ggT = 2 x 2 x 7 = 28
Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist.
Bsp.: 35 und 105 sind nicht teilfremd (ggT = 35)
35 und 39 sind teilerfremd.
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Die gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen bilden wieder eine Vielfachenmenge, nämlich die Vielfachenmenge des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
Man erhält das kgV zweier Zahlen, indem man von der ersten Zahl eine Primfaktordarstellung aufschreibt und sie mit den zusätzlichen Primfaktoren der zweiten Zahl multipliziert.
Bsp.: 24 = 2 x 2 x 2 x 3
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
kgV = (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x 3 = 96
ggT = 2 x 2 x 2 = 8
|
