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- (Lebensdaten Polylux)
- aufgrund seiner Vielseitigkeit hat man Leibniz ein Universalgenie genannt
- Z. Bsp. Mit Acht Jahren bereits perfekt Lateinisch könnend \\Eltern starben früh \\Bilio.E.
- er war Jurist \\ Diplomat \\ Historiker \\ Theologe \\ Sprachwissenschaftler \\ Geologe \\ Biologe \\ Physiker und hat auf allen gebieten bedeutenes geleiste
- vor allem aber Philosoph und Mathematiker und anders als Newton auch ein geistvoller Mann von Welt \\ dem es gefiel , an europäischen Fürstenhöfen zu brillieren
- Leibniz war von seinen jüngsten Jahren an \\ erste philosop. Schrift mit 16\\ unermüdlich und bis heute ist noch längst nicht alles erschlossen , was sich in seinen riesigen schrftl. Nachlaß findet
- als umfassender Denker tiefe Spuren in der kulturellen und wissenschaftlichen Entwicklung hinterlassen hat , fand er zu seinen Lebzeiten nicht die Anerkennung die ihm gebührt hätte
- von 1676 - zu seinem Tode versah er beim Kurfürsten von Hannover und späteren König von England das Amt des Rechtsberaters und Bibliothekars und starb 1716 völlig vereinsamt , ohne Familie und Freunde
- "wie einen Straßenräuber fast" so schrieb ein Zeitgenosse " wurde der bedeutendste Gelehrteseiner Zeit begraben
Seine Mathematischen Erfolge:
- in den Jahren 1672\\73 begann er mit den Studium über Summen unendlicher Reihen
- 1673 Aufenthalt in London \\ Leibniz stellte seine Rechenmachine der Royal Society vor
- im Oktober 1675 in Paris dann erfindet Leibniz seine spezifische Infinitesimalrechnung , eine geniale Art der algebraischen Symbolik
- erstmalig veröffentlichte Leibniz , in der monatlichen Zeitschrift " Acta eruditorium" (Berichte der Gelehrten) , 1682 die Reihe für / 4 und das nach ihn benannte Konvergenzkriterium
- 1648 enthalten die Zeitschriften die erste Abhandelung zur Differentialrechnung unter dem deutschen Namen:" Eine neue Methode für Maxima und Minima sowie Tangenten, die durch gebrochene und irrationale Werte nicht beeinträchtigt wird , und eine beispielose Art der Rechnung dafür " --- Regeln treten erstmalig auf zum Differentieren
- für Summe ,Differenz ,Produkt , Quotient , Kettenregel , zweite Ableitung ....
- Leibniz verwandte erst 1692 das Wort Funktion
- Über die tragweite seiner Methode sagt Leibniz :
" Kennt man.... den obigen Algorithmus dieses Kalküls , den ich Differentialrechnung nenne,
so lassen sich alle anderen Differentialgleichungen durch ein gemeinsames
Rechnungsverfahren finden , es lassen sich die Maxima un Minima sowie die Tangenten
erhalten..."
- Erstmalig Differentialrechnung verwendtet
- Zwei Jahre später Grundregel der Integralrechnung Integralzeichen erstmalig im Druck (Leibnizsche Integralzeichen \\ Bezeichnung " Calulus integralis")
- ( Dt. ich erneuere den durch Differenziern geänderten Zustand - wieder her)
Speziell seine Entwickelung der Differentialrechnung :
- Ausgangspunkt ist bei ihm das sog. Charakteristische Dreieck , das er von früheren
Mathematikern übernimmt
- die seiten nennt er Differnetiale sollen infinitesimal sein
- dabei darf ds je nach zusammenhang als Bogen-, Tangenten - oder Sehnestück interpretiert werden
- nach Leibniz ist nun die Steigung der Tangente der Quotient der Differentiale dy und dx, der sog. Differentialquotient , und dy berechnet er durch
- ( x+dx ) ² -x ² = 2 x dx +( dx ) ²
- wobei er ( dx ) ² fortläßt , weil es " im Vergleich zu den übrigen Größen unendlich viel kleiner ist "
- damit wird dy = 2x dx und dy/dx = 2x
- er führt also Größenordnungen des Verschwindens zur Begründung an ,
und denselben Gedanken benutzt er um die Rechenregeln (Ableitungsregeln )
seines " Calculus differentialis" aufzustellen
Sein Vorgehen rechtfertigt er ( Zitat) :
- ".....Will nämlich ein Gegner unseren Sätzen die Richtigkeit absprechen , so zeigt unser Kalkül , daß ein Irrtum geringer ist als irgendeine angebbare Größe, da es in unserer Macht steht , das Unvergleichbarkleine - das man ja immer so klein , als man nur will, annehmen kann - zu diesem Zwecke hinlänglich zu verringern. Dies dürfte es wohl sein , was Sie mit dem Unerschöpflichen meinen, und zweifellos liegt darin der strenge Beweis unserer Infinitesimalrechnung. Ihr Vorzug liegt darin , daß sie unmittelbar und augenscheinlich und in einer Art , die den eigentlichen Quell der Entdeckung freilegt, dasjenige gibt , was die
- Alten so z.B. ARCHIMEDES, auf Umwegen vermittels des indirekten Beweises erreichten. Sie konnten indes mangels eines solchen Kalküls in verwickelten Fällen nicht zur richtigen Lösung gelangen...\" ( Zitat ende);
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- seit seiner Studienzeit hatte LEIBNIZ die Idee einer allgemeinen Begriffsschrift
- vorgeschwebt
- mit ihrer Hilfe sollte es durch eine Art Rechnen möglich sein , aus allen denk möglichen
- Aussagen die richtigen herauszufinden
- dies war , wie das Zitat Erkennen läßt , auch der Leitgedanke , an dem sich Leibniz bei
- der Entwicklung seiner Infinitesimalrechnung orientiert hat
- als Calculus ging sie in die Geschichte ein ; calculer heißt auf französisch rechnen ,
- und calculi sind die Rechensteine des antiken Rechenbrettes , des Abakus
- es besteht kein Zweifel, daß die Leibnizsche Symbolisierung entscheidend zum schnellen
- Erfolg der Infinitesimalrechnung beigetragen hat , da sie den Problemen weitaus
- besser angepaßt war als Newtons Punktschreibweise , die sich nur in der Physik
- gehalten hat \\
- - wir benutzen auch heute noch seine Bezeichnungen, sagen differenzierbar statt ableitbar
- und sprechen auch vom Differentialquotient , obwohl die Ableitung nach unserem
- Verständnis keinen Quotienten darstellt und dx/dy deshalb dy nach dx gelesen wird
- das Wort Analysis bürgerte sich erst später im 18. Jahrhundert ein
- bezeichnete ursprünglich die Analyse der unendlich kleinen Größen und umfaßt heute alle Disziplinen, die aus der ursprünglichen Infinitesimalrechnung
hervorgegangen sind.
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- Nach diesem kleinem Einblick fragt wie das Verhältnis der beiden Entdecker gegen war ?
- als Newton auf dem Höhepunkt seiner Produktivität war begann Leibniz in Paris seine intensive mathematischen Studien
- am 24 Oktober 1676 informierte Newton Leibniz über seine FLUXIONENRECHNUNG
- nicht über Methode \\ nur Ergebnisse zu seinen Methode Anagramm(Buchstabenrätsel)
- Leibniz kam nicht drauf LSG: Bei gegebener Gleichung zwischen beliebig vielen fließenden Größen deren Fluxionen zu finden und umgekehrt
- Es entstand jedenfalls ein sehr unglücklicher Streit zwischen den beiden
- War so eine Art Wettbewerb \\ endete nicht mal nach einem Richterspruch an Englischen Hofe
- Heute steh fest das beide unabhängig voneinander zu eigenen Formen der Differential -
- bzw. Integralrechnung gekommen sind , Calculus bzw. Fluxionsrechnung
- Newton hatte das tiefere Verständnis Physik \\ Mathematik
- Leibniz sah halt den Zusammenhang zwischen Mathematik bzw. Logik und Erkenntnistheorie
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- Spätere Entwicklung der Infinitesimalrechnung :
- schon bei Entstehung wegen unsicheren Grundlagen kritisiert
- Philosoph ( Bischof ) und Kritiker GERORGE BERKELEY
- 1734 Schrift veröffentlicht : " The Analyst " und der Bezeichnung :
- "Der Analytiker oder eine Erörterung , gerichtet an einen ungläubigen Mathematiker , worin untersucht wird , ob der Gegenstand , die Prinzipen und die Schulßweisen der modernen Analysis deutlich begriffen oder einleuchtender hergeleitet sind als die religiösen Geheimnisse und Glaubenpunkte ."
- obwohl sich Berkeley die unsicheren Grundlagen der Analysis zunutze machen will , um einen ungläubigen Mathematiker ( wahrscheinlich Edmund Halley , Freidenker ) zum Glauben zu bekehren
- ist seine Analyse des Newtonsche Vorgehen sehr gut und geistreich
- Newtonsche Methode zur Ableitung von x hoch n x^n bis zu der Stelle geschildert wo Newton zu den letzten Verhältnissen übergeht , fährt er folgendermaßen fort :
- (Zitat) :
- " Bisher habe ich vorausgesetzt , daß x fließe , daß x einen wirklichen Zuwachs hat , daß h etwas ist . Und ich bin durchweg von dieser Voraussetzung ausgegangen , ohne die ich nicht imstande gewesen wäre einen einzigen Schritt zu tun . Von dieser Voraussetzung komme ich zu dem Zuwachs von x ² , so daß ihn mit dem Zuwachs von x vergleichen und so das Verhältnis der beiden Zuwächse finden kann . Ich bitte dann um die Erlaubnis eine Voraussetzung machen zu dürfen , die der ersten entgegengesetzt ist ; d. h. ich will jetzt voraussetzen , daß es keinen Zuwachs von x gibt oder daß h nichts ist , welche zweite Voraussetzung meine erste Zerstört und mit ihr unverträglich ist und deshalb mit allem , was sie voraussetzt . Ich bitte nichtdestoweniger um Erlaubnis , 2 x zurückzubehalten , welches ein Ausdruck ist der vermöge meiner ersten Voraussetzung erhalten wurde , ja welcher notwendig eine solche Voraussetzung voraussetzt und nicht ohne sie erhalten werden könnte.
- ( soweit Newton)
- All das scheint eine sehr widerspruchsvolle Art von Argumentation zu sein , welche in der Theologie nicht erlaubt wäre . "
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- "....... Und was sind Fluxionen ? Die Geschwindigkeiten von verschwindenen Zuwächsen . Und was sind diese verschwindenen Zuwächse ? Sie sind weder endliche Größen noch auch unendlich kleine Größen noch auch nichts. Dürfen wir sie nicht die Geister abgeschiedener Größen nennen ??? "
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- im laufe des 18 Jahrhunderts intensivierten die Mathematiker ihre Bemühungen die die " Geister abgeschiedener Größen " zu bannen
- nötig da als Folge der in weiteren Entwicklung der Infinitesimalrechnung Widersprüche auftraten
- da die Analysis in immer größerem Ausmaß an den Universitäten gelehrt wurde Grundlagen neu überdenken
- um sie zu begründen reichte den Grenzwertbegriff zu präzisieren
- bedeutender Mathematiker Augustin Louis Cauchy ( 1789 - 1857 ) der mit seinem Lehrbuch der Analysis aus dem Jahre 1821 einen Durchbruch erzielte
- ( bekannt aus 1. Stunde Mathe )
- gegen ende des 19 Jahrhunderts alle Fragen weitgehend geklärt
- in diesem Jahrhundert zeigte sich das die Leibnizsche Idee eines Infinitesimalkalküls sich verwirklichen läßt
- mit der mathematischen Logik ist es gelungen eine Modelltheorie zu entwerfen womit die NONSTANDARD -ANALYSIS zu begründen
- in der man wie Leibniz das vorschwebte mit unendlich kleinen und unendlich großen Zahlen rechnen kann
- neue Methode nicht Gebiet daher der Grenzwert noch lange zentrale Begriff der Analysis
- Zitat: "Wenn ich etwas weitersah als andere , so deshalb ,weil ich auf den Schultern von
Riesen stand ( Newton)
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