|
Die Relativit"tstheorie behandelt vor allem den Raum. Die
Mathematik, die zur Beschreibung von R"umen entwickelt
wurde, ist die lineare Algebra. Von daher ist es auch
kein Wunder, daá die lineare Algebra eine bedeutende
Rolle in der Relativit"t spielt.
Als ich noch die Mathevorlesung h"rte, war die lineare
Algebra das langweiligste Fach berhaupt gewesen, denn,
die Sachen, die die lineare Algebra behandelt, sind wirk-
lich die grundlegensten, die trivialsten Sachen ber-
haupt. Es f"ngt mit 1 * 2 = 2, 2 * 2 = 4, 3 * 2 = 6, etc.
an. Aber die Schwierigkeiten nehmen zu, und pl"tzlich
werden aus die Zahlen 1, 2, 3, ... abstrakte Symbole,
Funktionen, die unendlich viele Dimensionen haben k"nnen.
Und die Abstraktheit steigt noch, irgendwann weiá man
berhaupt nicht mehr, was der Professor meint. Von daher
ist die lineare Algebra auch das hinterlistigste Fach
(ich schreibe das, um all jene zu warnen, die irgendwann
einmal an einer Uni technische oder physikalische F"cher
studieren wollen, daran kommt keiner vorbei ;-). Zu sp"t
erkennen viele (inkl. ich), wie wichtig die lineare
Algebra ist. Ich kenne keinen Zweig in der Physik oder in
der Elektrotechnik, wo die lineare Algebra nicht ge-
braucht wird. Und erst recht nicht in der Relativit"ts-
theorie.
Die wichtigsten Gr"áe fr diese Theorie sind die
Vektoren. Man kann Vektoren als Zeigest"cke der
Mathematiker bezeichnen. Ein Vektor hat eine L"nge und
eine Richtung, damit kann ein Mathematiker auf jeden
beliebigen Punkt im Raum zeigen. In unserem Leben haben
die R"ume drei Dimensionen: L"nge, Breite und H"he; in
der Relativit"t kommt die Zeit als eine der L"nge
vergleichbare Gr"áe hinzu, damit wird der Raum vier-
dimensional, Ein Mathematiker kann sogar mit einem Vektor
in die Zeit zeigen.
Daá man Raum und Zeit gleichsetzen kann, kann man schnell
beweisen. Wir kommen zurck zu unserem Fremden, der nach
einem gewissen Haus fragt. Gehen Sie 50m weiter, dann 10m
links, kann man ihm sagen. Man kann aber auch sagen:
Gehen Sie 50 Sekunden weiter dann links 10 Sekunden.
Das klingt komisch, wird aber wirklich benutzt.
Wahrscheinlich nicht, wenn man nach einem Haus fragt. Zum
Beispiel wird in vielen M"rchen erz"hlt: Er wanderte
drei Tage und drei N"chte lang. Wenn man den groáen
Abstand verdeutlichen will: Selbst das Sonnenlicht
braucht einige Stunden, bis es die Oberfl"che des Pluto
erreicht. Oder: Die Raumsonde hat 10 Jahre gebraucht, um
Jupiter zu erreichen. Manche V"lker im Pazifik benutzen
heute noch solche Angaben wie: Du muát bis Sonnen-
untergang segeln, dann wirst Du die Insel sehen.
Zwei Sachen bemerken wir hier: 1. zu jeder dieser Zeit-
angaben geh"rt eine Geschwindigkeit, damit es eine L"nge
wird. 2. Die Angabe dieser Geschwindigkeit ist in den
meisten F"llen ungenau, weshalb solche Angaben selten
genutzt werden.
Ein Mensch kann mit 1m/s gehen, aber auch schneller oder
langsamer. Wenn man ihm sagt: gehen Sie 50s weiter, dann
kann das 40m bedeuten, auch 60m.
Das gleiche Problem hat man in der Relativit"t nicht,
denn wir haben beim letzten mal schon gesehen, daá es
sogenannte Lorentz-Invariante gibt. Die sind fr alle
Systeme gleich. Die wichtigste Invariante (weil die
Relativit"t auf ihr aufgebaut ist) ist natrlich die
Lichtgeschwindigkeit c. Egal, wer sie miát, sie ist immer
300 000km/s. Deswegen wird die Zeit mit der Licht-
geschwindigkeit zusammen angegeben: Die L"nge, die der
Zeit T entspricht, ist cT.
Genau wie in 3D-R"umen, kann man hier auch einen
\"Abstand\" berechnen. Der Abstand im 3D-Raum ist: s =
Wurzel aus (x^2 + y^2 + z^2). Der \"Abstand\" in der
Relativit"t ist analog:
/------------------------------
s = \\/ (c * T)^2 - x^2 - y^2 - z^2
Die Minuszeichen zeigen, daá die Zeit doch etwas anders
ist als die L"nge. Daá gerade x, y, z Minuszeichen tragen
und nicht c*T hat folgenden Grund:
Angenommen, ein Objekt bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v in x-Richtung. Nach der Zeit T hat es
dann die Strecke vT zurckgelegt. Da v h"chstens gleich c
sein kann, ist x stets kleiner als cT, damit bleibt s
immer reel. Wir sehen auch, daá das Licht immer die
krzeste Strecke zurcklegt, denn bei Licht wird v=c, und
damit x=cT, und damit s=0. Relativistisch gesehen ist das
Licht das faulste Wesen im Universum, denn es bleibt
immer \"stehen\". Wir kommen bei der allgemeinen
Relativit"t noch einmal darauf zurck.
Das Zeichen s hat eine ganz praktische Bedeutung.
Angenommen, etwas hat die Koordinaten (cT, x, 0, 0) .
Angenommen, x w"re gr"áer als cT. Was hat das fr eine
Bedeutung?
Das bedeutet, daá das Licht in der Zeit T die Strecke x
nicht zurcklegen kann. Somit k"nnen wir nichts ber
Dinge wissen, fr die cT |
