Winkelfunktionen

Winkelfunktionen Zusammenfassung: Winkelfunktionen drücken einfache geometrische Beziehungen zwischen Winkeln und Längen(verhältnissen) aus. Ihre Schwierigkeit - insbesondere für AnfängerInnen - besteht darin, dass sie über die bisher bekannten Rechenoperationen hinaus weisen. Sinus und Cosinus Beginnen wir mit einer harmlosen Frage: Wie lange ist der Schatten eines um den Winkel a relativ zur Horizontalen geneigten Stabes der Länge 1, wenn die Sonne senkrecht auf ihn herabscheint? Betrachten Sie die nebenstehende Skizze: Die rote Strecke stellt den Stab dar, der Pfeil symbolisiert das von oben einfallende Licht. Der Winkel a soll beliebig gewählt werden können (im Beispiel rechts ist a = 51̊). Gesucht ist die Länge der grünen Strecke. An dieser Stelle tritt eine Überraschung auf, die viele Lernende vor eine völlig neue Situation stellt, und die mit den Schwierigkeiten, die die Winkelfunktionen vielen Menschen bereiten, zusammenhängt: Das Problem ist nicht mit Hilfe der Rechenoperationen, die wir bisher kennengelernt haben, zu lösen! Nur in Ausnahmefällen ist die Länge des Schattens durch bereits bekannte \"schöne\" Zahlen auszudrücken (z.

    B. für a = 60̊ ist sie 1/2, für a = 45̊ ist sie 2-1/2), aber etwa für a = 51̊ ergibt sich eine (reelle) Zahl, die sich nicht in dieser oder einer ähnlichen Weise angeben lässt. Wir können das hier nicht begründen, aber es ist wichtig, es zu wissen, um die Vorgangsweise, die wir nun beschreiten werden, zu verstehen. Obwohl wir zunächst nicht wissen, wie wir die Länge des Schattens für (beispielsweise) a = 51̊ berechnen können, ist klar, dass sie durch die Fragestellung eindeutig bestimmt ist. Um eine grobe Näherung zu erhalten, können wir eine (möglichst) genaue Zeichnung nach Art der obigen Skizze anfertigen und die Länge der grünen Strecke abmessen. Es ergibt sich ein Wert von ungefähr 0.

    63. Ein solches Verfahren ist aber vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet unbefriedigend. Was wir allerdings in jedem Fall tun können, ist, dem genauen Resultat einen Namen zu geben: wir nennen es Cosinus. Die Länge der grünen Strecke wird als cos a oder, mit Klammer, als cos(a) geschrieben und \"Cosinus alpha\" oder \"Cosinus von alpha\" ausgesprochen. Da der Schatten die Länge des Bildes ist, das die Sonne auf den Boden \"projiziert\", können wir formulieren: cos a ist die Länge der Projektion einer Strecke, die - wie in der linksstehenden Skizze - um den Winkel a geneigt ist und die Länge 1 hat. Ist a = 51̊, wie in unserem Beispiel, so schreiben wir cos(51̊).

     Das Symbol cos(51̊) stellt also eine reelle Zahl dar (sie ist ungefähr 0.63), cos(60̊) stellt eine andere reelle Zahl dar (nämlich 1/2), usw. Ganz analog dazu können wir den Stab mit horizontal einfallendem Licht beleuchten und fragen, wie lange sein auf eine senkrechte Wand geworfener Schatten ist. Auch diese Länge lässt sich im Allgemeinen nicht mit Hilfe der uns bereits bekannten Rechenmethoden angeben, und wir nennen sie Sinus. Die Länge der blauen Strecke in der rechtsstehenden Skizze wird als sin a oder, mit Klammer, als sin(a) geschrieben und \"Sinus alpha\" oder \"Sinus von alpha\" ausgesprochen. Wieder handelt es sich um eine Projektion, diesmal allerdings entlang horizontal einfallender Lichtstrahlen.

     sin a kann auch als die scheinbare Länge, unter der wir den roten Stab aus großer Entfernung vor seinem Hintergrund sehen, gedeutet werden. Ist beispielsweise a = 51̊, so schreiben wir sin(51̊). Sinus und Cosinus (und einige andere Größen, die wir weiter unten daraus gewinnen werden) heißen Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Die Bezeichnung \"Funktionen\" rührt daher, dass jedem Winkel a die beiden Zahlen sin a und cos a zugeordnet werden. Mathematisch betrachtet ist das nichts Aufregendes. Wenn wir einer Zahl x ihr Quadrat zuordnen und das als f(x) = x2 schreiben, tun wir im Prinzip nichts anderes.

     Der Unterschied zum Quadrieren besteht nur darin, dass die numerische Berechnung von sin a und cos a für einen gegebenen Winkel a aufwendiger ist als das Quadrieren einer gegebenen Zahl. Zum Glück können wir diese Arbeit Werkzeugen überlassen, die das für uns tun, z.B. dem Computer oder dem Taschenrechner. Auch diese Werkzeuge liefern für die meisten Winkel nur numerische Näherungswerte, die aber, ähnlich wie beim Wurzelziehen, für praktische Anwendungen ausreichend genau sind. Funktionen 1 Wir bitten Sie also, zu akzeptieren, dass Sie die Art und Weise, wie Rechenmaschinen das machen, in diesem Kapitel nicht kennenlernen werden.

     Das hindert uns aber nicht daran, diese Werkzeuge zu benutzen: sin ( ̊ ) cos ( ̊ ) Geben Sie einige Winkel ein und klicken Sie auf die Buttons mit den Gleichheitszeichen, um deren Sinus und Cosinus anzeigen zu lassen! Wir können nun auch das obige Beispiel (a = 51̊) mit hoher Genauigkeit lösen: Unsere kleine Rechenmaschine sagt uns, dass cos(51̊) = 0.6293203910498375 ist, und das ist die gesuchte Länge des Schattens, den das senkrecht einfallende Sonnenlicht am Boden wirft. Genau genommen ist auch das nur ein Näherungswert, aber für alle praktischen Zwecke ist er sogar zu genau. Hat der rote Stab etwa eine Länge von einem Meter, so können wir die Länge seines Schattens getrost als 62.9 cm angeben. Sinus und Cosinus (letzterer manchmal auch \"Kosinus\" geschrieben), sowie alle weiteren Winkelfunktionen, die Sie in diesem Kapitel noch kennenlernen werden, spielen in der Mathematik und in zahlreichen Anwendungen eine wichtige Rolle.

     Ihre überragende Bedeutung rührt letzten Endes daher, dass sie einfachen und sehr allgemeinen (d.h. oft auftretenden) geometrischen Fragestellungen entspringen. Dass ihre numerische Berechnung keine leichte Sache ist und zunächst an Computerwerkzeuge oder Taschenrechner delegiert wird, mag zwar ein bisschen lästig erscheinen, sollte aber die Tatsache ihrer prinzipiellen Einfachheit (und Schönheit, wie viele MathematikerInnen sagen würden) nicht verdecken. Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen Dreieck Zum Seitenanfang Wir wissen nun im Prinzip, was der Sinus und der Cosinus eines Winkels sind und sehen uns nun einige Dinge an, die wir damit anstellen können. In jeder der Grafiken des vorigen Abschnitts erkennen wir ein rechtwinkeliges Dreieck: In der rechtsstehenden Grafik haben wir es hervorgehoben.

     Außerdem haben wir das Ganze ein bisschen gedreht, denn auf die Lage des Dreiecks in der Zeichenebene kommt es nicht an. Mit Hilfe dieser Grafik können wir unsere beiden Winkelfunktionen auf eine andere Weise charakterisieren: In einem rechtwinkeligen Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat, sei a einer der beiden nicht-rechten Winkel. Dann ist sin a die Länge der Kathete, die dem Winkel a gegenüberliegt, und cos a die Länge der Kathete, die dem Winkel a anliegt. Nun betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck, das denselben Winkel a besitzt, dessen Hypotenuse aber nicht unbedingt die Länge 1 hat. Wir erhalten es, indem wir unser bisheriges Dreieck \"aufblasen\" oder \"schrumpfen\", und zwar so, dass alle Winkel erhalten bleiben. Das ursprüngliche und das links abgebildete Dreieck sind einander ähnlich.

     In beiden Dreiecken ist die (dem Winkel a) gegenüberliegende Kathete (blau) um den Faktor sin a kürzer als die Hypotenuse, und in beiden Dreiecken ist die Ankathete (grün) um den Faktor cos a kürzer als die Hypotenuse. In diesem Sinn können sin a und cos a als Verkürzungsfaktoren verstanden werden. Dieser Sachverhalt kann formal mit Hilfe des Strahlensatzes bewiesen werden. Wir sehen also, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt: sin a = Gegenkathete -------------------------------------------------------------------------------- Hypotenuse (1) cos a = Ankathete -------------------------------------------------------------------------------- Hypotenuse (2) Ähnlichkeit und Strahlensatz (in Vorbereitung) Um sich diese Formeln besser merken zu können, ziehen Sie am besten folgende \"Eselsbrücke\" heran: Der Sinus gehört zur gegenieberliegenden Kathete, der Cosinus zur onliegenden Kathete. In den meisten Lehrbüchern werden Sinus und Cosinus durch die Eigenschaften (1) und (2) eingeführt. Mit Hilfe des nebenstehenden Applets, in dem ebenfalls (1) und (2) als Ausgangspunkte genommen werden, können Sie sich mit diesen Beziehungen ein bisschen besser vertraut machen.

     Um zu illustrieren, wie diese Eigenschaften beim Rechnen verwendet werden, betrachten wir folgende Vermessungsaufgabe: Wie in nebenstehender Skizze dargestellt, wird die direkte Entfernung einer Beobachtungsstation zu einem Berggipfel mit 3.7 km gemessen. Der Gipfel erscheint unter einem Höhenwinkel von 19.5̊. Wie hoch ist der Berg? Lösung: Erkennen Sie das rechtwinkelige Dreieck in der Skizze? Wir wenden die Beziehung (1) an: sin (19.5̊) = h -------------------------------------------------------------------------------- 3.

    7 km . Daher ist h = sin(19.5̊) × 3.7 km. Unter Zuhilfenahme der obigen Rechenmaschine ergibt sich sin(19.5̊) = 0.

    3338, daher h = 0.3338 × 3.7 km = 1.24 km, wobei wir das Resultat in vernünftiger Weise gerundet haben. Wenn Sie derartige Aufgaben lösen, empfiehlt es sich, einen Rechner (z.B.

     einen Taschenrechner, den mathe online Mini-Rechner oder JavaCalc) bereitzuhalten. Am Ende dieses Kapitel finden Sie ein paar Tipps zum computerunterstützten Rechnen mit Winkelfunktionen. Applet Definition der Winkelfunktionen Sinus und Cosinus für alle Winkel: Zeigerdiagramme Zum Seitenanfang Unsere oben gegebenen Definitionen von Sinus und Cosinus sind genau genommen noch nicht ganz vollständig. Erinnern wir uns: Wir haben Sinus und Cosinus eingeführt als die Längen der Schatten eines geneigten Stabes der Länge 1, einmal unter vertikalem Lichteinfall (cos a) und einmal unter horizontalem Lichteinfall (sin a). In der nebenstehenden Skizze ist das noch einmal dargestellt, wobei wir den (roten) Stab aber diesmal mit einem Ende in den Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems gehängt haben und die \"Schatten\" (oder Projektionen) entlang der Achsen einzeichnen. Der Winkel a wird relativ zur horizontalen Achse (x-Achse) im Gegenuhrzeigersinn gemessen.

     Nun sehen wir, dass wir den Winkel a vergrößern können, indem wir den roten Stab wie einen Uhrzeiger (allerdings gegen den Uhrzeigersinn) drehen. Das äußere Ende des Zeigers beschreibt dadurch einen Kreisbogen (mit Radius 1). Wir wollen solche Diagramme als \"Zeigerdiagramme\" bezeichnen. Die Drehung des Zeigers kann über die vertikale Lage hinaus fortgesetzt werden. Eine solche Lage des Zeigers beschreiben wir, wie in der linksstehenden Skizze dargestellt, mit einem Winkel, der größer als 90̊ ist. Wir können nun auch hier (analog zur obigen Skizze) die Projektionen auf die Achsen einzeichnen und dadurch Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90̊ definieren.

     Dabei kommen wir überein, eine vom Ursprung nach links oder nach unten weisende Strecke als negativ zu zählen. Der im Beispiel links eingestellte Winkel ist 131̊. Die Länge der grünen Strecke ist ungefähr 0.656. Der Cosinus dieses Winkels ist daher ungefähr -0.656, also negativ! Probieren Sie es selbst mit Hilfe der obigen Rechenmaschine aus!