Incentives

A. Einführung 1. Warum braucht man incentives?
Um das Problem des moral hazard zu entschärfen, könnte die höhere Instanz (der Prinzipal) Kontrollen durchführen. Dies erfordert jedoch einen hohen Aufwand an Transaktionskosten zur Beschaffung von Informationen, die zur Beurteilung des Entscheidungsverhaltens nötig wären. Außerdem ist zu vermuten, daß -etwa bei moral hazard in Unternehmen - zu starke Kontrollen motivationshemmend auf die Mitarbeiter wirken.
Deshalb ist man bemüht, Anreize (Incentives) zu schaffen, um moral hazard zu vermeiden. Diese Anreize sollen das Verhalten der anderen Partei so beeinflussen, daß sie sich effektiv (oder allgemein auf eine erwünschte Weise) verhalten. Incentives müssen also so gestaltet sein, daß es von vornherein im Interesse des Agenten liegt, den Vertrag im Sinne des Prinzipals zu erfüllen.

2. Beispiele für incentives
In der Realität sind viele Anreizsysteme zu beobachten. Anreizwirkungen sollen z.B. von folgenden Maßnahmen ausgehen:
a) Vorsorgeuntersuchungen, die das Risiko einer Erkrankung mindern, führen bei der Krankenversicherung zu Beitragssenkungen. Ein Wirtschaftssubjekt hat also Anreiz, nicht wegen jeder Kleinigkeit zum Arzt zu gehen.
b) Vertreter werden nicht pauschal, sondern nach Leistung (Umsatz, "Punkteprämien") bezahlt. Nur wer fleißig arbeitet, verdient viel.
c) Belegschaftsaktien sollen Mitarbeiter zu besseren Leistungen motivieren: Da sie am Gewinn der Unternehmung über Aktienbesitz partizipieren, haben sie Anreiz, durch effektive Arbeit zu einem hohe Gewinn beizutragen.
d) Im Straßenverkehr besteht Anreiz, vorsichtig zu fahren: Mit jedem unfallfreien Jahr reduziert sich die Versicherungsprämie.
e) Eine Selbstkostenbeteiligung bei Versicherungen führt dazu, daß sie nicht bei jedem Bagatellfall in Anspruch genommen wird.
Bei der Schaffung von Anreizen ist der Grad der Risikoaversion beider Parteien ein entscheidender Faktor, da sich bei Risikoaversion die Übernahme eines Risikos negativ auf die Wohlfahrtsposition des Wirtschaftssubjektes auswirkt.
B. Mikrotheoretische Überlegungen bei Risikoneutralität
1. Der Modellrahmen
In diesem Abschnitt wird in enger Anlehnung an Ruhl (1990) formal und graphisch untersucht, wie optimale Anreizsysteme bei Arbeitsverträgen aussehen können.
Ein Prinzipal überträgt einem nachgeordneten Entscheidungsträger Aufgaben. Der Erfolg G setzt sich zusammen aus der Leistung des Entscheidungsträgers x und einer stochastischen Komponente :

G = f(x) + .
Die Störvariable  sei dabei N(0, 2)-verteilt und repräsentiert nicht beeinflußbare Umweltfaktoren. Der Erfolg G ist damit ebenfalls eine normalverteilte Zufallsvariable.
Der erwartete Nutzen des Prinzipals ergibt sich als:
E{U[G-P(G)]},
dabei ist U(x) der Nutzen und E(U) der erwartete Nutzen des Prinzipals, P(G) ist die Prämienfunktion.
Der Agent wählt ein Leistungsniveau x*, das seinen Erwartungswert aus Nutzen der Prämie P und Leistung maximiert. Er arbeitet ungern, so daß seine Nutzenfunktion den Arbeitseinsatz als negatives Argument enthält.
Das Arbeitsleid wird wie negatives Einkommen bewertet und in Geldeinheiten ausgedrückt. Es nimmt mit steigendem Arbeitseinsatz zu. E(V) ist der Erwartungswert des Nutzens des Agenten, der sich aus dem Nutzen der erhofften Prämie und des Arbeitsleids L(x) zusammensetzt:
E(V) = E{U[P(G)]} - L(x*).
Damit der Prinzipal seinen erwarteten Nutzen maximieren kann, muß er die Reaktionen des Agenten antizipieren. Ein höheres Arbeitsniveau des Agenten bewirke eine vorteilhaftere Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg: je mehr (intensiver) der Agent arbeitet, desto wahrscheinlicher werden größere Erfolge. Eine Prämie erhält der Agent, falls sein Erfolg über einen -vom Prinzipal vorgegebenen- Soll-Erfolg SG hinausgeht. In diesem Fall steigt die Prämie mit dem tatsächlich erzielten Erfolg:
P(G) = (G-SG),

Gleichung 7
wobei  den Prämiensatz angibt. Die Prämienfunktion ist anreizkompatibel: Der Erwartungswert der Prämie E[P] ist eine monoton steigende Funktion des erwarteten Netto-Erfolges des Prinzipals E[G-P].
Außerdem wird dem Agent in jedem Fall ein Mindestnutzen in Höhe von VM gewährt als Schutz vor zu hoch angesetzten Soll-Erfolgen.
2. Das Kalkül des Agenten
Der Agent maximiert seinen Nutzen, indem er sein Leistungsniveau wählt. Bei Risikoneutralität ergibt sich in Verbindung mit der Prämienfunktion (Gleichung 7):
Maxx E(V) = {E[G(x)] - SG} - L(x)

Differenzieren und Nullsetzen ergibt:


Gleichung 8
Der Entscheidungsträger wählt sein Leistungsniveau so, daß im Optimum der erwartete Grenzertrag der Prämie gleich dem Grenzarbeitsleid ist. Der Soll-Erfolg SG beeinflußt das Verhalten des Agenten nicht. Mit steigendem Prämiensatz steigt auch seine Leistung, er besitzt also folgende Reaktionsfunktion:

x() mit dx/d>0.
Gleichung 9

3. Die optimale Prämienfunktion
Ziel des Prinzipals ist die Maximierung seines Netto-Ertrages. Für sein Maximierungskalkül läßt sich eine Lagrange-Funktion aufstellen (mit  als Lagrange-Multiplikator), wenn man zu seinem erwarteten Netto-Erfolg als Nebenbedingung die Prämie des Agenten berücksichtigt. Dann lautet das Maximierungskalkül des Prinzipals in Verbindung mit der Reaktionsfunktion des Agenten (Gleichung 9):
Max, SG,  F = (1-)*E[G(x*())] + SG + [VM - {E[G(x*(*))] - SG} + L(x*())].
Partielles Ableiten und Nullsetzen ergibt:

Gleichung 10
Gleichung 10/(2) ergibt: *=-1. Daraus folgt, "...daß der Nutzen der Instanz um eine marginale Einheit fällt, wenn der Mindestnutzen des Entscheidungsträgers VM um eine marginale Einheit ansteigt." Dies ist nicht verwunderlich, da VM in jedem Fall gewährt wird.
* in Gleichung 10/(1) eingesetzt ergibt:

Gleichung 11
Leitet man dE/d und dL/d nach der Kettenregel ab, dann ergibt sich aus Gleichung 11:

.
Im Optimum ist Gleichung 8 stets erfüllt, so daß man dL/dx wie folgt ersetzen kann:


Gleichung 12
Direkt abzulesen ist dann der aus Sicht des Prinzipals optimale Prämiensatz:

*=1
Gleichung 13
Ist der Prämiensatz *=1, dann gilt: "Die Instanz überläßt dem Entscheidungsträger bei Risikoneutralität den gesamten Erfolg, der den optimalen Soll-Erfolg SG* übersteigt [...]". Arbeitet der Agent also besser als vom Prinzipal vorhergesehen, darf er den gesamten zusätzlichen Erfolg behalten.
Der optimale Soll-Erfolg SG* ergibt sich, indem man Gleichung 11 in Gleichung 10/(3) einsetzt:

SG*=E[G]*-L*-VM.
Gleichung 14
"Der Soll-Erfolg SG* entspricht im Optimum gerade dem Erwartungswert des Erfolges, vermindert um das Arbeitsleid und den Mindestnutzen VM des Entscheidungsträgers für *=1."
Das heißt: Der Prinzipal bestimmt zunächst den optimalen Soll-Erfolg. Dieser ergibt sich aus dem Erwartungswert des Erfolges, abzüglich dem Arbeitsleid des Agenten und dessen Mindestnutzen. Übersteigt der tatsächlich erzielte Erfolg den Soll-Erfolg, so erhält der risikoneutrale Agent eine Prämie mit Prämiensatz * = 1, d.h. er erhält den gesamten zusätzlichen Erfolg.
4. Graphische Interpretation
Das Maximierungskalkül des Prinzipals läßt sich nach Ruhl (1990) auch graphisch verdeutlichen.
Da verstärkte Anstrengungen des Agenten den Erfolg positiv beeinflussen, verläuft der Graph des erwarteten Gewinnes in Abhängigkeit von der Leistung des Agenten konkav und monoton wachsend. Da die Prämie linear vom erwarteten Gewinn abhängt, verläuft auch sie konkav und monoton wachsend.
Die Nutzenfunktion des Agenten bestimmt, wie er mit seiner Leistung x auf unterschiedliche Prämien reagiert. Seine Indifferenzkurven geben an, welche Kombinationen von Leistung und erwartete Prämie er als gleichwertig einstuft. Da eine Leistungssteigerung bei gleichem Nutzenniveau einen überproportionalen Anstieg der Prämie zur Folge hat, verlaufen die Indifferenzkurven konvex. Bewegt man sich im Indifferenzkurvensystem nach oben, steigt das Nutzenniveau. Graphisch läßt sich das so darstellen:

Abbildung 3: Wie wirkt ein steigender Prämiensatz auf die Leistung?
Den Anpassungspfad erhält man, indem man die Tangentialpunkte der erwarteten Prämien und der Indifferenzkurven verbindet. Er beschreibt, wie alternative Prämiensätze auf die Leistung des Agenten wirken. Trägt man den Anpassungspfad mit dem Graph des Erwartungswertes des Erfolges E[G(x)] in ein neues Schaubild ein und berücksichtigt, daß der Anpassungspfad um den Mindestnutzen VM nach oben verschoben werden muß, so ergibt sich:

Abbildung 4: Der optimale Prämiensatzes bei Risikoneutralität
Der Prinzipal wählt jenen Prämiensatz, bei dem der vertikale Abstand zwischen erwartetem Erfolg und Anpassungspfad maximal wird. Die optimale Prämienfunktion ist dann durch * determiniert.
C. Mikrotheoretische Überlegungen bei Risikoaversion
1. Erweiterung des Modellrahmens
Behandelt wird Risikoaversion des Agenten bei Risikoneutralität des Prinzipals. Das Entlohnungsprinzip wird beibehalten, da lineare Prämienfunktionen in der Realität oft eingesetzt werden. Der Prinzipal muß aber beachten, daß der Agent einen Ausgleich fordert für das übernommene Risiko.
Hierzu stellt er dem Agenten ein Sicherheitsäquivalent zur Verfügung: "Das Sicherheitsäquivalent stellt dabei jenen sicheren Zielgrößenwert dar, den der Entscheidungsträger als gleichwertig mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Prämie betrachtet" . Anders ausgedrückt: Da der Agent risikoscheu ist, schätzt er den Nutzen der erwarteten Prämie geringer ein. Das Sicherheitsäquivalent gibt an, welchen Nutzen der Agent der erwarteten Prämie beimißt:

, mit r > 0.
r ist ein Parameter, der den Grad der Risikoaversion des Agenten angibt und VAR(P) die Varianz der Prämie. Für sie gilt: VAR(P) = 22, wobei 2 die Varianz des Erfolges angibt und nicht von der Leistung des Agenten beeinflußt wird.
Der erwartete Nutzens des Agenten E(V) ergibt sich aus Sicherheitsäquivalent und Arbeitsleid (das wieder wie negatives Einkommen in Geldeinheiten bewertet wird):
E(V)=SÄ(P) - L(x) = VM.
Dies stellt gleichzeitig seinen Mindestnutzen dar.
2. Das Kalkül des Agenten
Der Agent maximiert den Erwartungswert des Nutzens bezüglich seiner Leistung. Es gilt also:
Maxx

Die notwendige Bedingung ist dann:


Gleichung 15
Analog zu Gleichung 8 ist wieder das Leistungsniveau optimal, bei dem der erwartete Grenzertrag der Prämie gleich dem Grenzleid der Arbeit ist. Weder der Soll-Erfolg SG, noch der Grad der Risikoscheu r oder die Varianz des Erfolges 2 beeinflussen das Anpassungsverhalten.
Der Anreizeffekt der Prämie bleibt erhalten, denn auch hier steigt die Leistungsbereitschaft des Agenten an, wenn die Prämie ansteigt. Für seine Reaktionsfunktion x*() gilt also wieder dx*/d > 0.

3. Die optimale Prämienfunktion
Der Prinzipal möchte auch weiterhin seinen Netto-Erfolg maximieren. In Verbindung mit der Prämien- und der Reaktionsfunktion des Agenten sieht sein Kalkül jetzt so aus:
Max, SG, 
Die notwendige Bedingung ergibt sich durch partielle Differentiation:


Gleichung 16
Aus Gleichung 16/(2) ergibt sich: *=-1. Eingesetzt in Gleichung 16/(1) erhält man:

Leitet man dL/d wieder nach der Kettenregel ab und beachtet, daß im Optimum des Agenten das Grenzleid der Arbeit dem marginalen erwarteten Prämienertrag entspricht (Gleichung 15), so ergibt sich:

Daraus läßt sich der optimale Prämiensatz ermitteln:

Gleichung 17
Für * gilt: 0 < * < 1, da dE[G]/d > 0 und r2 > 0. Bei Risikoaversion des Agenten ist also der Prämiensatz grundsätzlich niedriger.
dE(G)/d gibt an, wie der erwartete Grenzerfolg auf Änderungen der Prämie reagiert. Der optimale Prämiensatz ist um so höher, je größer dE(G)/d ist, d.h. je leistungsmotivierender ein hoher Prämiensatz auf den Agenten wirkt.
Ist der dE(G)/d gegeben, so ist "...der optimale Prämiensatz * [...] um so größer, je kleiner der Risikoaversions-Koeffizient r und je kleiner die Varianz des Erfolgs 2 ist ". Je größer also die Risikobereitschaft des Agenten ist, desto mehr kann er verdienen, weil der Prämiensatz ansteigt, oder umgekehrt: Je geringer die Risikobereitschaft, desto weniger hängt die Bezahlung des Agenten vom Erfolg ab, sondern tendiert mehr und mehr in Richtung einer fixen Bezahlung in Höhe von VM. Je "fixer" die Bezahlung ist, desto geringer ist das Risiko des Agenten und desto mehr übernimmt der Prinzipal das Risiko.
Je geringer die Streuung des Erfolges ist, desto geringer streut auch die Prämie. Das Risiko des Agenten nimmt also ab. Deshalb wird er bei geringer Varianz des Erfolges stärker am Risiko beteiligt.
Hat man den optimalen Prämiensatz * ermittelt, so ergibt sich der Soll-Erfolg im Optimum SG*, indem man x* aus Gleichung 15 in Gleichung 16/(3) einsetzt:


Gleichung 18
Da 0 < * < 1, ist der Inhalt der Klammer positiv. Vergleicht man also diesen Soll-Erfolg mit Gleichung 14, so stellt man fest, daß er bei einem risikoscheuen Agenten geringer ist. Die Anforderungen des Prinzipals an risikoscheue Agenten sind also geringer.
4. Graphische Interpretation
Analog zu Abbildung 4 wird eine konkave Kurve des erwarteten Erfolges E[G(x)] angenommen.
Der Anpassungspfad in Abbildung 4 gab an, wie alternative Prämiensätze auf die Leistung des risikoneutralen Agenten wirkten. Hier ist der Agent risikoavers, er fordert zusätzlich eine Risikoprämie in Höhe von R=½2r2. Zu dem Anpassungspfad muß also die Risikoprämie addiert werden.
Der Verlauf der neuen Kurve wird wie folgt konstruiert: Nimmt man einen Prämiensatz von =1 ein, so beträgt die Risikoprämie noch R=½r2. Senkt man , so sinkt auch die Risikoprämie; im Extremfall =0 ist R=0: Wird keine Erfolgsprämie gezahlt, ist die Bezahlung konstant und das Risiko des Agenten gleich Null. So läßt sich eine Anpassungskurve mit Risikoprämie konstruieren, die um so steiler verläuft, je risikoscheuer der Agent ist. Ist r2=0, ist der Anpassungspfad mit Risikoprämie identisch mit dem Anpassungspfad aus Abbildung 4. Graphisch sieht das so aus:

Abbildung 5: Das optimale Leistungsniveau bei Risikoaversion des Agenten
Analog zu Abbildung 4 ist beim optimalen Leistungsniveau des Agenten x* der Abstand zwischen Gewinn und Bezahlung des Agenten maximal. Die Risikoprämie R* ergibt sich dann als Aufschlag aus dem Abstand zwischen Anpassungspfad mit und ohne Risikoprämie beim optimalen Leistungsniveau. Sie ist abhängig vom Grad der Risikoaversion.