|
In den seltensten Fällen wird man sich bei der Programmierung von dreidimensionalen Welten mit einem unveränderlichen Bild begnügen. Gerade die Bewegung macht ein realitätsnahes Bild erst aus. Eine Bewegung setzt sich im wesentlichen aus zwei Arten zusammen: Translation und Rotation. Auch die Skalierung kann man unter Umständen noch dazuzählen.
Eine Translation ist nichts weiter als eine Verschiebung in eine bestimmte Richtung, zum Beispiel eine Bewegung durch einen langen Gang. Mathematisch gesehen baut die Translation auf einer Vektoraddition auf: Die Verschiebung wird durch einen Vektor, den Translationsvektor, bestimmt. Dieser Vektor wird einfach auf alle Ortsvektoren (Punkt-Koordinaten) des zu verschiebenden Objekts addiert. Eine Bewegung des Betrachters wird dabei ganz genauso erreicht, die Sichtweise ist jedoch umgekehrt: Möchte man sich als Betrachter um eine Einheit in z-Richtung bewegen, verschiebt man einfach die gesamte 3D-Welt um eine Einheit in negative z-Richtung.
Die Rotation ist da schon etwas komplizierter, vor allem, wenn man um jeden Preis mit Matrizen rechnen will, wie das oft propagiert wird. Matrizen fassen in einer Art Tabelle die notwendigen Rechenschritte für eine Transformation zusammen; Translationen, Rotationen, Skalierungen, alles hat seine Matrize. Das hat den Vorteil, daß man mehrere Matrizen zusammenfassen und damit etwas Rechenzeit sparen kann - wenn von vornherein feststeht, welche Transformationen in welcher Reihenfolge durchgeführt werden sollen. Weil das jedoch selten der Fall ist, werden die Rotationsmatrizen hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Bei der Rotation muß grundsätzlich unterschieden werden, um welche der drei Achsen rotiert werden soll, es werden jeweils andere Verknüpfungen durchgeführt.
Um die x-Achse: Die entsprechende Matrix:
x´ = x 1 0 0
y´ = y * cos (a) - z * sin (a) 0 cos (a) - sin (a)
z´ = y * sin (a) + z * cos (a) 0 sin (a) cos (a)
Um die y-Achse: Die entsprechende Matrix:
x´ = x * cos (a) + z * sin (a) cos (a) 0 sin (a)
y´ = y 0 1 0
z´ = - x * sin (a) + z * cos (a) - sin (a) 0 cos (a)
Um die z-Achse: Die entsprechende Matrix:
x´ = x * cos (a) - y * sin (a) cos (a) - sin (a) 0
y´ = x * sin (a) + y * cos (a) sin (a) cos (a) 0
z´ = z 0 0 1
Diese Formeln betrachten zunächst einmal nur die Rotation um die Koordinatenachsen. Durch eine Kombination mehrerer Rotationen kann aber jede beliebige durch den Ursprung verlaufende Gerade eine Achse bilden. Möchte man auch noch die Einschränkung der Ursprungsgeraden umgehen, muß man die Rotation noch mit einer Translation verbinden. Dazu wird vor der Rotation die Welt so weit verschoben, daß der Punkt, um den gedreht werden soll, sich im Ursprung befindet. Nach der Rotation wird dann gegebenenfalls wieder zurückverschoben, wobei allerdings auch der Translationsvektor vorher rotiert werden muß. Bei der aufeinanderfolgenden Rotation um mehrere Achsen müssen selbstverständlich jeweils die errechneten Koordinaten der vorherigen Rotation als Quellkoordinaten in die folgende eingesetzt werden. Verwendet man immer wieder die eigentlichen Weltkoordinaten als Quelle, dürfte man recht ungewöhnliche Ergebnisse erhalten, die mit der eigentlich darzustellenden Welt nicht viel gemeinsam haben. Gerade die Rotation mit ihren vielen Sinus- und Cosinus-Berechnungen stellt einen besonders geeigneten Anwendungsfall der Tabellen-Rechnung dar. Wollte man all diese Berechnungen mit gewöhnlichen Pascal-Funktionen programmieren, käme nie eine flüssige Bewegung zustande. Also werden alle Sinus- und Cosinus-Werte aus der (gleichen) Tabelle entnommen und mit den Koordinaten entsprechend der jeweiligen Rechenvorschrift multipliziert.
Außer den reinen Translationen sind die genannten Transformationen grundsätzlich nicht kommutativ, d. h. ihre Reihenfolge ist nicht gleichgültig. Rotiert man beispielsweise den auf der x-Achse liegenden Punkt (1/0/0) zunächst um 90 Grad um die x-Achse, dann um den gleichen Winkel um die z-Achse, liegt das Ergebnis auf der y-Achse. Bei umgekehrter Reihenfolge liegt es auf der z-Achse. Daher sollte man eine einheitliche Reihenfolge festlegen, nach der rotiert wird, zweckmäßigerweise erst um die x-, dann y- und schließlich z-Achse. Auch bei gemischten Transformationen muß die Reihenfolge beachtet werden. Bei einer Translation mit folgender Rotation kommt sicher ein anderer Punkt heraus als bei umgekehrter Reihenfolge, daher sollte man sich auch hier festlegen. Am sinnvollsten ist in diesem Fall die Folge Translation - Rotation, weil sich dann die Translations-Werte auf die bekannten Weltkoordinaten bezeiehen und nicht auf deren rotierte Abbildungen. Zusammenfassend kann man also folgende Reihenfolge als geeignetste ansehen:[9]
Translation
Rotation (x, y, dann z)
Projektion auf den Bildschirm
|
