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Das Rotationspendel ist ein sich kontinuierlich entwickelndes bzw. in der Simulation ein sich annähernd kontinuierlich entwickelndes physikalisches System. Das heißt, daß sich die beobachtete Variable (= Darstellungsvariable, im behandelten Fall die momentane Auslenkung j) kontinuierlich ändert, d.h. größer und kleiner wird. Zur Analyse des Systems wird eine Datenreduktion vorgenommen: Es werden nur noch die Tiefpunkte der Auslenkung registriert, der Rest der Pendellaufbahn wird nicht beachtet.
Diese Datenreduktion (= Diskretierung) wird nun auch für die Erzeugung der Daten verwendet. Das System des Rotationspendels kann somit nicht mehr angewandt werden, sondern es wird ein System benötigt, das bei jedem Iterationsschritt verwendbare, d.h. sinnvolle Daten liefert: die logistische Funktion. Sie ist eine einfache mathematische Abbildung und hat auf den ersten Blick nichts mit den bereits behandelten Pendelschwingungen zu tun.
(4.5.1) Xneu = c · Xalt · (1 - Xalt)
X ist hierbei die Darstellungsvariable, c der Kontrollparameter. Diese iterative Abbildung liefert zu jedem Wert einen neuen, von c abhängenden Wert. Dieser kann dann erneut als \"alter\" Wert in die Gleichung eingesetzt werden.
\"Die logistische Abbildung wird im Einheitsintervall x element [0;1] betrachtet. In diesem Einheitsintervall besitzt sie die Nullstellen xz1 = 1 und xz2 = 0. Ihr Maximum erhält man aus der Differentiation von (4.5.1) zu xmax = 0,5. Der dazugehörige Funktionswert ist f(xmax) = [c] : 4. Wegen der Bedingung x element [0;1] ist also [c] element [0;4].\"(10)
Zahlenreihen, die durch die logistische Iterationsfunktion gewonnen wurden (wobei der Anfangswert gleichgültig ist, sofern er ungleich 0 und ungleich 1 ist, da sonst Xneu ebenfalls Null ist), können in drei grundsätzlich verschiedene Arten untergliedert werden:
Konvergenz gegen einen bestimmten Wert; für c < 1 ist dieser Wert Null (Abb. 4.4.1)
Wiederholung (nach einer gewissen \"Einschwingzeit\") (Abb. 4.4.2 bis 4.4.5)
Keine Regelmäßigkeit (Abb. 4.4.6)
Betrachtet man die periodischen Schwingungen (Abb. 4.4.2 bis 4.4.4) genauer, so erinnern sie stark an ein Bifurkationsszenario, wie es in 4.1 besprochen wurde (eine Schwingung spaltet sich bei jeder Bifurkation in zwei Unterschwingungen auf).
Die Abbildungen 4.4.7 bis 4.4.10 zeigen verschiedene Ausschnitte und Vergrößerungen aus dem Feigenbaumdiagramm der logistischen Funktion. Der Kontrollparameter c wurde an der Abszisse angetragen (von 2,5 bis 4) und von links nach rechts schrittweise erhöht. Die jeweils vorkommenden Funktionswerte X wurden (nach einer gewissen \"Einschwingzeit\" von 100 Iterationen) auf der Ordinate angetragen.
Untersucht man bei der logistischen Funktion (genauso wie beim Drehpendel) die Verhältnisse zwischen den Aufspaltungspunkten, so stößt man auf ein interessantes Ergebnis:
Bifurkationsgrad = i
1
2
3
4
5
6
Kontrollparameter ci
3,00088
3,44816
3,54385
3,56434
3,56873
3,56967
Parameterdifferenz ci - ci-1
0,44728
0,09569
0,02049
0,00439
0,00094
Quotient d. Parameterdifferenz
4,67
4,67
4,67
4,67
Auch hier ist der Quotient der Kontrollparameterdifferenzen delta konstant. Ein genauerer Wert lautet(11): delta = 4,6692. Die Bifurkationsgrenzen lassen sich ebenso wie beim Drehpendel berechnen:
(4.5.2) ci = cunendl. + k · delta-i ist ungefähr 3,56992 - 2,65699 · 4,6692-i
delta wird auch Feigenbaumkonstante genannt. Sie wird als universell bezeichnet, da sie nicht nur für die Gleichung (4.5.1) gilt, sondern auch für alle Gleichungen, die ein quadratisches Maximum haben. Hier einige Beispiele(12):
Das Phänomen des Feigenbaumdiagramms und der Feigenbaumkonstante d tritt übrigens bei allen oder zumindest bei den meisten deterministisch chaotischen Systemen auf. Deterministisches Chaos ist also nicht etwas rein Chaotisches und vollkommen Unvorhersagbares, sondern verhält sich in gewissen Punkten gewissermaßen geregelt. Die Regeln sind zwar nicht der Art, wie man sie aus der klassischen Physik kennt, lassen es aber trotzdem zu, gewisse Aussagen über ein System zu treffen und gewisse Parallelen zu anderen Systemen zu ziehen.
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