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Für Transinformation T und Kanalkapazität C gelten auch im kontinuierlichen Fall diesselben Beziehungen wie im diskreten Fall. Die Transinformation läßt sich also mit T = H(y)-H(y|x) bestimmen, wobei H(y) die Entropie am Kanalausgang und H(y|x) die zusätzliche Entropie der Variablen y am Kanalausgang ist, wenn die Variable x am Kanaleingang gekannt ist. H(y|x) kennzeichnet also die am Ausgang wirksamen Störungen.
Alle Signale seien nun durch Spannungen ausgedrückt, die auf die Bezugsspannungen U normiert werden, damit die Argumente der verschiedenen Funktionen dimensionslos werden.
Für die gesendeten Signale gelte
Die empfangenen Signale mögen sich aus der Überlagerung von Sendespannung us und Störspannung un zusammensetzen.
us und un seien zufällige Spannungen, die statistisch voneinander unabhägig sind. Die bedingte Entropie des Ausgangssignals y bei bekannetem Eingangssignal x muß gleich der Entropie des Störsignals sein.
Für die Transinformation gilt damit:
Es sei nun angenommen, daß Nutzsignal us und Störsignal un normalverteilt sind, daher eine normalverteilte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion vorliegt. Damit ist aber auch die Überlagerung von Nutz- und Störsignal normalverteilt.
Zur Berechnung der Transinformation T benutzen wir folgende Formeln
Die untere Gleichung ergibt sich durch partieller Integration aus dendarüber stehenden Beziehungen. Zur Durchführung der partiellen Integration setzt man z=u und den restlichen Integranden gleich v'.
Die Entropie H(z) eines normalverteilten Signals z berechnet sich nun folgendermaßen:
Hierin ist
Und damit ergibt sich aus den beiden obigen Gleichungen:
Bezeichnet man den Effektivwert der Störspannung un mit Ueff,n, dann ergibt sich mit z = un/U und = Ueff,n/U die Entropie.
Bezeichnet man ferner den Effektivwert der Signalspannung us mit Ueff,s, dann ergibt sich bei statistischer Unabhägigkeit von Signal un Störung der Effektivwert der Überlagerung us + un zu .
Mit und folgt:
Damit ergibt sich für die Transinformation
Ps ist die Signalleistung, Pn ist die Störleistung. Die Bezugsspannung U, deren Größe den Maßstab bestimmt, spielt, wie zu erwarten war, bei der Berechnung der Transinformation keine Rolle.
Der Transinformationsfluß T' berechnet sich unter Voraussetzung bandbegrenzter Signale wiefolgt:
Da für die Herleitung der letzten Gleichung Signale mit Gaußschen Verteilungskurven vorrausgesetzt wurden, ist der berechnete Transinformationsfluß bei gegebener Störleistung Pn und maximal übertragbarer Leistung Ps = Psmax zugleich auch der maximal mögliche Transinformationsfluß T'max, der über einen Kanal geleitet werden kann. Damit hat ein solcher Kanal die Kanalkapazität
.
Bisher wurde vorausgesetzt, daß das Spektrum der Zeitfunktion un(t) bzw. us(t) sich von der Frequenz Null bis zu einer oberen Grenze fmax erstreckt (B=fmax). Diese Voraussetzung wurde insbesondere auch bei der Herleitung des Abtasttheorems gemacht.
Ist die Zeitfunktion u(t) auf die Bandbreite B begrenzt, wobei das Frequenzband aber im Bereich höherer Frequenzen liegt, also die Fequenz Null nicht enthält, dann gilt ein Abtasttheorem 2.Art. Dieses besagt, daß die Zeitfunktion u(t), welche die Bandbreite B hat und als höchste Frequenzkomponente fmax enthält, eindeutig durch einzelne Funktionswerte im Abstand m/2fmax bestimmt ist. Dabei ist m die größte ganze Zahl, die fmax/B nicht überschreitet. Der größte Abstand ergibt sich, wenn fmax ein ganzzahliges Vielfaches von B ist. Dann beträgt der maximale Abstand 1/2B
Die Klammer bedeutet die nächst-höhere ganze Zahl. Der Beweis dieses Theorems ist sehr aufwendig und wäre deshalb nicht angebracht.
Für bandbegrenzte und gestörte Kanäle mit der Bandbreite B und der Störleistung Pn sowie der maximal übertragbaren Signalleistung Ps gilt
.
Die letzte Gleichung stellt eines der wichtigsten Ergebnisse der Informationstheorie dar. Dieser theoretische Maximalwert kann praktisch nur durch sehr komplizierte Sende- und Empfangssysteme asymptotisch erreicht werden. Im Normalfall ist Ps >> Pn, so daß gilt . Dieses Verhältnis (=Störabstand) wird zweckmäßiger Weise in dB angegeben, d.h. es wird 10lg(Ps/Pn) gebildet. Dazu muß der dyadische Logarithmus in den Dekadischen umgerechnet werden. Es ergibt sich dann folgende Beziehung.
In Tabelle 3.1 sind die Kanalkapazitäten einiger elektrischer Übertragungskanäle zusammengestellt.
Kanal Bandbreite
B Störabstand
Ps/Pn [dB] Kanalkapazität
C [bit/s]
Telegraphiekanal (50 Baud) 25 Hz 15 75
Fernsprechkanal 3,1 kHz 50 50.000
Rundfunk-MW 6 kHz 70 140.000
Rundfunk-UKW 15 kHz 70 350.000
Fernsehkanal 5 MHz 45 75.000.000
Tabelle 3.1
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