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- ein berühmter Mathematiker schrieb über Newton , den Entdecker des Gravitations-
gesetzes und den Begründer der klassischen Mechanik und Himmelsmechanik :
" Er ist der Glücklichste , das System der Welt kann man nur einmal entdecken"
- ( Begrenzung auf seine mathematischen Leistungen )
- Zeitliche Eingrenzung zeigt das Newton in den Jahren 1665-67 sehr produktive Phase
Newton hat sein akademisches Lehramt bis 1701 ausgeübt
- da verherrende Pestzüge durch London \\ Newton zog aufs Land
- in diesen Zeiten hauptsächliche Entdeckungen in Mathe \\ Optik \\ Astronomie
- sein eigentlicher Lehrer der ihm den Weg zur Mathematik wies war I. Barrow , ebenfalls
ein bedeutener Mathematiker
- sein Lehrer gab ihm dem Zusammenhang des Tangentproblems mit Flächeninhaltsbestimmung --- Inhalt des Fundamentalsatzes der Diff. u.-Integ.
- Newton schloss sich Barrow an ; wie er bezeichnete er Gschwindigkeiten. , das heißt Differen. nach der Zeit , durch einen darübergesetzten Punkt
- Er hatte weitere Anregungen durch Lektüre von mathem. Arbeiten ander Landsleute zu der Reihenentwickelung der Logarithmusfkt.
- Newton stellte eigene Studien mit dem Thema Reihenlehre zusammen 1669
- handelt aber insgesamt "De Analysi..." um eine bereits entwickelten Theorie
- 1671 bereits weiteres Buch druckfertig : es enthielt seine Infinitesimalrechnung zusammen mit einer verbesserten Darstellung der unendlichen Reihen
- Title : " Methodus fluxionum et serium infinitarum" ( Methode d.fließenden Größen und der unendlichen Reihen )
- Hier kein Druck da großer Brand in London fast die ganze Stadt 1666 \\ alle Druckereihen zerstört
- Erst 1736 erschien " Fluxionenrechnung " nach seinem Tode Inhalt überholt
- Newton ging vom physikalischen aus (mechanische Grundvorstellungen) welches er später in der " Principia" zugrundegelegt
- Zitat(Prinzipia): " Es gibt eine objektiv existierende , unabhängig von allen Geschehnissen verlaufende Zeit. Alle Körper bewegen sich in einem objektiv existierenden Raum , der unabhängig is von allen darin befindlichen Körpern.Alle veränderlichen Größen sind physikalische Größen, die von der objektiv ablaufenden Zeit abhängen.
- diese größen die Variablen also , nennt er " Fluenten " das heißt soviel wie Fließende
- Ihre Geschwindikeit , das heißt ihre Ableitungen , nannte er Fluxionen
- Newton definiert Folgendermaßen : " Die Größen , die ich als allmählich und unbeschränkt zunehmende ansehe, werde ich von nun an FLUENTEN oder FLOWING QUANTITIES nennen und werde sie durch die letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnen , durch v, x, y, z, damit ich sie unterscheiden kann von anderen Größen , die in Gleichungen als bekannt und bestimmt betrachtet werden können , und welche darum durch die Anfangsbuchstaben a , b , c ,... bezeichnet werden . Und die Geschwindigkeiten die jede Fluentedurch die erzeugende Geschwindigkeit erhält - die ich als Fluxion oder einfach als Geschwindigkeiten bezeichnen möchte - werde ich durch dieselben Buchstaben , aber mit Punkrt versehen , bezeichnen , also ´v , ´x , ý ,´z "
- Der dritte wichtige Begriff der Newtonschen Fluxionenrechnung ist das Moment einer Größe \\ Newton def. Es als einen " geraden noch wahrnehmbaren Zuwachs einer Größe"
und bezeichnet es mit " o "
- demnach ist o das Moment der Zeit , xo das Moment der Fluente und ´xo das Moment
der Fluxion , das etwa dem dem heutigen Differnetial entspricht
- dieser begriff Moment ist einigermaßen unklar \\ es fehlt eine klare begriffliche Fixierung
des Grenzübergangs , zu der Newton noch nicht vorstoßen konnte
- dagegen hat NWT. In voller Tragweite den Zweck seiner Fluxionenrechnung im mathemath-physikalischen Zusammenhang erfaßt und gehandhabt
- die tiefe Einsicht Newtons ist am leichtesten durch einen Blick auf den Inhalt des Buches " Method of Fluxions" zu demonstrieren :
1. Die Beziehung zwischen den Fluenten untereinander ist gegeben . Zu bestimmen ist die
Beziehung zwischen ihren Fluxionen. Dies ist also das das Problem der Differnetation .
BSP. Aus " Method of Fluxions" : Differentation von 0 = x ³ -ax ² +axy -y ³ ;
X und y hat man sich als abhängige Variable zu denken , unabhängige Variable ist die
Zeit . Man liest bei Newton : " Sei nun irgend eine Gleichung x³ -ax²+axy -y³ = 0
gegeben und ersetze x+ ´x o für x und y + ýo für y , dann ergibt sich
x³+3xo²+3x²oox+x³o³-ax²-2axox-ax²oo+axy+axoy+ayox+axyoo-y³-3yoy²-3y²ooy-y³o³
Nun ist nach Voraussetzung : x³-ax²+axy-y³=0
Welche demnach gestrichen werden . Die verbleibenden Terme werden durch o dividiert.
Es bleiben 3xx²+3x²ox+x³oo-2axx-ax²o+axy+ayx+axyo-3yy²-3y²oy-y³oo=0
Aber da vorausgesetzt war , daß o unendlich klein ist , daß die Momente der Größen repräsentieren werden die Terme , die mit o multipliziert sind , nichts sein in Anbetracht des Restes . Deswegen verschmähe ich sie und es bleibt 3xx³-2axx+axy-3yy²=0
2. (Thema in "Method.....")
- hier das Problem der Integration -- mehr als nur die Bestimmung von Stammfunktionen
- hierin sind auch die Integrationen von Differentialgleichungen eingeschlossen
3. (Thema)
- hier systematisiert Newton die Behandlungsweise der verschiedenen Probleme:
- Berechnung von Maxima und Minima , Tangenten an Kurven , Krümmungsmaß von Kurven , Art der Krümmung , Quadratur von Kuven .....
- Newton ist in seinem B s p . von der Physik ausgegangen und wählte dort nicht gerade das idealste Beispiel ein anderes : f(x) = x ²
Newtonsche Methode mit dem Versuch seinem Text wörtlich zu folgen :
" Die Größe x möge gleichförmig fließen , und es sei die Fluxion ( Ableitung ) von x ²
zu finden . In der Zeit , in der x beim Fließen zu x + h wird , wird x ² zu ( x + h ) ² , d.h. zu
x ² + 2xh + h ² . Die Zuwächse h und 2x + h² verhalten sich zueinander wie 1 zu 2x +h .
Nun möge jene Zuwächse verschwinden . Dann wird ihr letztes Verhältnis 1 zu 2x sein "
In den Prinzipia gibt Newton hierfür u.a. die folgende Begründung.
" Jene letzten Verhältnisse , mit denen Größen verschwinden , sind in Wirklichkeit nicht die Verhältnisse der letzten Größen , sondern die Grenzen , denen sich die Verhältinsse fortwährend abnehmender Größen beständig nähern ,und denen sie näher kommen ,als jeder angebbare Unterschied beträgt , welche sie jedoch niemals überschreiten und nicht früher erreichen können , als bis die Größen ins Unendliche verkleinert sind ."
- Grenzbegriff kündigt sich an ist jedoch eine Errungenschaft des 19 Jhr.
- Zur Prinzipia , was war das eigentlich : " Philosophiae naturalis principia
Mathematica"( Mathem. Prinz. d.Naturphl.)
- - die hohe bedeutung dieses Werkes kann bis zu einem gewissen Grad aus der Tatsache ersehen werden , daß es seit seinem ersten Erscheinen 1687 rund hundert Neuauflagen erlebt hat
- in der Welt der naturwissenschaftlichen Literatur eine absolute Spitzenstellung
- das erscheinen der PRINCIPIA festigte Newtons ruf als Mathematiker und wandelte die mathematische Physik
- gliedert sich in drei Bücher : - 1+2. Behandelt verschiedene hypothetische Kräfte u.
Bewegungen
3 . die allgm. Theorie der vorhergehenden Bücher auf
spezielle Fälle der Planetenbewegung + irdische Körper
- in späteren Jahren festigte sich die Meinung das die Ergebnisse der Principia mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung erhalten habe , sie für die Veröffentlichung aber in die traditionelle Form umgeschrieben
- Bsp . für seine gewaltige Leistung : die Berechnung der Gezeiten zu der Zeit
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allein reiht sich Newton unter die Mathema.
Ersten Ranges ein
- die mathematischen Leistungen erschöpfen hier jedoch nicht(Erfolgreicher Algebraiker)
- soll aber reichen da Differentialrechnung Thema
- während Newton von der Physik ausgeht , stehen bei Leibniz geometrische Fragestellungen im Vordergrund
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