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Die Datierung von Ereignissen und vorgeschichtlichen Funden beruht ganz wesentlich auf dem Zerfall der in dem zu datierendem Material erhaltenen radioaktiven Nuklide. Seit Entstehung der Elemente vor etwa sechs Milliarden Jahren nimmt der Gehalt an radioaktiven Mutternukliden unter Bildung stabiler Tochternuklide ständig ab. Nach dem radioaktiven Zerfallsgesetz klingt die Zahl der radioaktiven Mutternuklide exponentiell mit der Zeit ab.
Für die Bestimmung des Alters von Gesteinen und damit der festen Erdkruste (ca. 3,5×109a) braucht man radioaktive Nuklide mit entsprechend hoher Halbwertszeit. Bei der Uran-Blei-Methode benutzt man 238U mit der Halbwertszeit von 4,5×109 a. 238U zerfällt in der Uran-Radium-Reihe über mehrere Stufen in das stabile Nuklid 206Pb.
Man nimmt an, dass zur Zeit t=0 die Zahl der Tochternuklide NB(0)=0 ist, und während der Zeit t keine neuen Mutterkerne gebildet wurden. Aus dem heute bestehenden Verhältnis von N206PB/N238U errechnet sich ein Erdalter von ca. 4×109 a.
Aufgabe S. 99/1 (Leistungskurs-Abitur 1979, V, Teilaufgabe 2a-d)
a) Von welcher Annahme geht man bei der theoretischen Herleitung des Gesetzes über den radioaktiven Zerfall aus? Leiten sie damit das Zerfallsgesetz her.
1. Die radioaktiven Kerne in einem Präparat zerfallen völlig unabhängig voneinander
2. Die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls pro Sekunde wird durch eine für alle Kerne gleicher Art charakteristische Konstante λ bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig herausgegriffener Kern in einem kleinem Zeitintervall t zerfällt, ist dann λ× t
b) Die Halbwertszeit eines radioaktiven Präparats liegt in der Größenordnung 10 min. Wie kann man seine Zerfallskonstante λ aus der Aktivität bestimmen?
Aus dem Zerfallsgesetz folgt:
Zur Bestimmung von λ genügen Aktivitätsmessungen für zwei Zeitpunkte t1 und t2:
Es gilt:
Ins Verhältnis setzen:
Logarithmieren:
Auflösen:
c) Wenn die Halbwertszeit in der Größenordnung 103 a liegt, muss man zur Bestimmung von λ anders vorgehen als in Teilaufgabe b. Welche Messungen sind dann auszuführen, wie sind diese im Prinzip auszuwerten? Keine Einzelheiten der Versuchsanordnung.
Formel für die Aktivität:
Man benötigt für einen beliebigen Zeitpunkt t:
1. eine Messung der Aktivität A(t)
2. eine Absolutbestimmung der Zahl N(t) der radioaktiven Atome in der Probe (z.B. Massenspektroskopie)
d) 238U zerfällt radioaktiv mit dem Endprodukt 206Pb. Wegen der relativ kleinen Halbwertszeiten der Zwischenprodukte kann für die folgenden Überlegungen in guter Näherung ein direkter Zerfall von 238U in 206Pb angenommen werden. Bestimmen Sie das Massenverhältnis von Blei und Uran, das sich nach der Zeit t = 1,20×109 a in einer Gesteinsprobe aufgrund des radioaktiven Zerfalls einstellt.
Es gelten: Zeit 0: 238U-Kerne:
Zeit t: 238U-Kerne:
206Pb-Kerne:
238U-Masse:
206Pb-Masse:
Aufstellung des
Massenverhältnises:
Vereinfachen:
Weiterhin gilt:
Einsetzen der Werte:
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